直線 ${\displaystyle y=x}$ に関して対称な点

2点${\displaystyle \text{P}}$ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ ${\displaystyle \left(x_2,y_2\right)}$  が直線 ${\displaystyle y=x}$  に関して対称であることは

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_2=y_1\\ y_2=x_1\end{array}}$

が成り立つことと同値である．

すなわち，点${\displaystyle \text{P}}$ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$  の 直線${\displaystyle y=x}$  に関して対称な点${\displaystyle \text{Q}}$ の座標は${\displaystyle \left(y_1,x_1\right)}$  となりx 成分とy 成分が入れ替わっている．

■証明

点${\displaystyle \text{P}}$ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$  の x  成分と y  成分入れ替えた点を${\displaystyle \text{Q}}$ ${\displaystyle \left(y_1,x_1\right)}$  とする．

線分${\displaystyle \text{PQ}}$ の傾きを${\displaystyle m_1}$  とすると

${\displaystyle m_1=\frac{y_1-x_1}{x_1-y_1}=-1}$  

直線${\displaystyle y=x}$  の傾き${\displaystyle m_2}$  は1であるから

${\displaystyle m_1{m}_2=-1}$  

(2直線が垂直に交わる条件を参照)

となり

直線${\displaystyle \text{PQ}}$ は直線${\displaystyle y=x}$  に垂直　･･････(1)

である．点${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ の中点を${\displaystyle \text{C}}$ ${\displaystyle \left(x_c,y_c\right)}$  とすると

${\displaystyle x_c=\frac{x_1+y_1}{2}}$ ，${\displaystyle y_c=\frac{y_1+x_1}{2}}$  

となり

${\displaystyle x_c=y_c}$  ･･････(2)

である．

よって，(1)，(2)より定直線に関して対称な点であるための条件を満たしているので点${\displaystyle \text{P}}$ ${\displaystyle \left(x_1,y_1\right)}$，点${\displaystyle \text{Q}}$ ${\displaystyle \left(y_1,x_1\right)}$ は直線${\displaystyle y=x}$  に関して対称である．

 

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最終更新日 2023年2月23日