補集合

全体集合を $U$ ，その部分集合を $A$ とする．例えば

${\displaystyle U=\left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}}$

${\displaystyle A=\left\{2,4,6,8\right\}}$

とする． $U$ の要素で， $A$ に属さない要素は， $1$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ である．このような， $U$ の要素で， $A$ に属さない要素全体の集合（図の黄色の部分）のことを補集合といい

${\displaystyle \overline{A}}$

で表わす．上記集合の例では， $A$ の補集合の要素は， $1$ ， $3$ ， $5$ ， $7$ であるので

${\displaystyle \overline{A}=\left\{1,3,5,7\right\}}$

となる．

■補集合の性質

$U$ を全体集合とし， $A$ ， $B$ をその部分集合とするとき

• ${\displaystyle A\cap \overline{A}=\varphi }$  (空集合)
• ${\displaystyle A\cup \overline{A}=U}$  （全体集合）
• ${\displaystyle \overline{\overline{A}}=A}$  （集合$A$の 補集合の補集合は集合$A$と等しい）
• ${\displaystyle A\subset B}$  ならば  ${\displaystyle \overline{A}\supset \overline{B}}$  （部分集合を参照）

が成り立つ．

 

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最終更新日 2025年12月26日