対偶を利用する証明

命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が真であることの証明が困難な場合，対偶の性質

命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」とその対偶 「 ${\displaystyle \overline{q}\Rightarrow \overline{p}}$ 」の真偽は一致する．

より，対偶「 ${\displaystyle \overline{q}\Rightarrow \overline{p}}$ 」が真であることを証明すると，命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」が真であることが証明できたことになる．

■事例

対偶を利用した証明でよく例に挙がっているのが

整数 $n$ において， ${\displaystyle n^2}$ が偶数であるならば， $n$ は偶数である．

という命題が真であることの証明である．

上記の命題を，「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」に対応させると

$p$ ： ${\displaystyle n^2}$ は偶数である．

$q$ ： $n$ は偶数である．

「整数 $n$ において」は，命題が取り扱う要素の全体集合を指定している．

となる．

$n$ と $n^2$ の関係を表で示す．

表を見ると，命題は真でありそうである．

命題が真であることを証明するためには， $p$ の「 ${\displaystyle n^2}$ が偶数である」を式で表わす必要がでてくる． ${\displaystyle n^2}$ が偶数であるので

${\displaystyle n^2=2\left(\right)}$

と， ${\displaystyle \left(\right)}$ の中に， ${\displaystyle n^2}$ が， $4$ ， $1$ ， $4$ ， $9$ ， $16$ ， $36$ と変化するような整数 $k$ を含む式を入れなければならない．しかし，その式を見つけるのは容易でない．

そこで，発想を変えて，命題「 ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ 」と真偽が一致する対偶「 ${\displaystyle \overline{q}\Rightarrow \overline{p}}$ 」が真であることの証明を考えることにする．

$q$ の否定は

${\displaystyle \overline{q}}$ ： $n$ は 偶数でない．言い換えると， $n$ は奇数である．

となり， $p$ の否定は

${\displaystyle \overline{p}}$ ： ${\displaystyle n^2}$ は偶数でない，言い換えると， ${\displaystyle n^2}$ は奇数である．

となる．したがって，対偶は

整数 $n$ において， $n$ が奇数であるならば， ${\displaystyle n^2}$ は奇数である．

となる．

対偶が真であることを，以下で証明する．

$n$ が奇数であることより

${\displaystyle n=2k+1}$   （ $k$ は整数）

とおくと

${\displaystyle n^2={\left(2k+1\right)}^2}$

${\displaystyle =4k^2+4k+1}$

${\displaystyle =2\left(2k^2+2k\right)+1}$

となり， ${\displaystyle n^2}$ は $2$ の倍数に $1$ を足したものになり，奇数になっている．

よって，対偶が真であることが証明された．

このことより，命題

整数 $n$ において， ${\displaystyle n^2}$ が偶数であるならば， $n$ は偶数である．

も真である．

 

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最終更新日 2026年1月6日