${\displaystyle cos\theta \geqq c}$ の求め方

単位円を用いて ${\displaystyle cos\theta \geqq c}$  を満たす$\theta$の範囲を求める． ただし，$\theta$の範囲は${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \pi }$ とする．

単位円では ${\displaystyle cos\theta }$ の値はx 座標に相当する．よって

1. まず，下図のようにx 軸上のc の値でy 軸に平行な線を引き，単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とする．
2. 次に，線分${\displaystyle \text{OP}}$ ，${\displaystyle \text{OQ}}$ を引き，x となす角を${\displaystyle {\theta }_1}$ ，${\displaystyle {\theta }_2}$ とおき，そして，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求め，${\displaystyle {\theta }_1}$ ，${\displaystyle {\theta }_2}$ を算出する．（三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ は${\displaystyle \text{OP}=1}$ ，${\displaystyle \text{RP}=a}$ の直角三角形 ）
   ${\displaystyle cos\theta \geqq c}$  を満たす$\theta$の範囲は，単位円上では弧${\displaystyle \text{PQ}}$ の部分で，下図の太い半透明の青線の部分となる．すなわち， ${\displaystyle {\theta }_1\leqq \theta \leqq {\theta }_2}$ となる．
3. 更に，θの範囲を単位円上に記入する．(下図の場合は赤線で示してある）．

以上より，$\theta$の範囲（赤線部分）と ${\displaystyle {\theta }_1\leqq \theta \leqq {\theta }_2}$ （太い半透明の青線の部分）が重なった範囲${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq {\theta }_1}$ が${\displaystyle cos\theta \geqq c}$ が解となる．

 

参考として，単位円を90°回転したものと ${\displaystyle cos\theta }$ のグラフとの関係を示す．

 

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最終更新日： 2023年3月3日