積分　x sinx 

${\displaystyle \int xsinxdx}$

${\displaystyle xsinx}$ は x と ${\displaystyle sinx}$ の積で， x を微分すると1となる． ⇒ 部分積分をすると積分の式が簡単になり計算できそうである．

部分積分の公式：${\displaystyle \int f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx}$${\displaystyle =f\left(x\right)g\left(x\right)-\int f^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx}$

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ ， ${\displaystyle g^{\prime }\left(x\right)=sinx}$ とした部分積分を行う．

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)={\left(x\right)}^{\prime }=1}$

${\displaystyle g\left(x\right)={\displaystyle \int \sin xdx=-\cos x}}$   （積分定数は省略している）

よって

${\displaystyle \int x\sin xdx}$${\displaystyle ={\displaystyle \int x{\left(-\cos x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =x\left(-\cos x\right)-{\displaystyle \int {\left(x\right)}^{\prime }\left(-\cos x\right)dx}}$

${\displaystyle =x\left(-\cos x\right)-\int 1·\left(-\cos x\right)dx}$

${\displaystyle =-x\cos x+\sin x+C}$ （ ${\displaystyle C}$ は積分定数）

 

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　最終更新日：2026年1月8日