定積分で定義された関数の微分

定積分で定義された関数の微分

d dx a x f( t )dx =f( x )  

ポイント: f( t ) の部分には x  を含んでいてはいけない. 積分範囲に注意. x  は上端でなければならない.

■導出

●その1

 関数 f( x ) 原始関数 F( x ) とすると ( d dx F( x )=f( x ) )

a x f( x )dx =F( x )F( a )

となる.よって

d dx a x f( x )dx = d dx { F( x )F( a ) }

= F x   F a =0

=f( x )

●その2

  a x f( t )dx =F( x ) とおく. x x から x+Δx に増加したときの F( x ) の増加量を ΔF とすると,

F( x+Δx )F( x )=ΔF

と表すことができる.

拡大図より , ΔF=Δx·f( u ) となる u が存在することがわかる.この関係は Δx<0 の時も成り立つ.

Δx0 のとき, ux f( u )f( x ) となることから

lim Δx0 F( x+Δx )F( x ) Δx = lim Δx0 ΔF Δx = lim Δx0 Δx·f( u ) Δx =f( x )

となる.よって

d dx a x f( t )dx =f( x )

が得られる.

 

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最終更新日: 2023年7月30日