定積分で定義された関数の微分

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=f\left(x\right)}$

ポイント： $f\left(t\right)$ の部分には $x$  を含んでいてはいけない． 積分範囲に注意． $x$  は上端でなければならない．

■導出

●その１

　関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の原始関数を ${\displaystyle F\left(x\right)}$ とすると ${\displaystyle \left(\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)\right)}$

${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=F\left(x\right)-F\left(a\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{F\left(x\right)-F\left(a\right)\right\}}$

${\displaystyle =F^{\prime }\left(x\right)}$ ${\displaystyle \left(\because F^{\prime }\left(a\right)=0\right)}$

${\displaystyle =f\left(x\right)}$

●その２

　 ${\displaystyle {\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=F\left(x\right)}$ とおく． x が x から ${\displaystyle x+\Delta x}$ に増加したときの ${\displaystyle F\left(x\right)}$ の増加量を ${\displaystyle \Delta F}$ とすると，

${\displaystyle F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)=\Delta F}$

と表すことができる．

拡大図より ， ${\displaystyle \Delta F=\Delta x·f\left(u\right)}$ となる u が存在することがわかる．この関係は ${\displaystyle \Delta x<0}$ の時も成り立つ．

$\Delta x\to 0$ のとき， ${\displaystyle u\to x}$ ， ${\displaystyle f\left(u\right)\to f\left(x\right)}$ となることから

${\displaystyle \underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{F\left(x+\Delta x\right)-F\left(x\right)}{\Delta x}}$ ${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta F}{\Delta x}}$ ${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta x·f\left(u\right)}{\Delta x}}$ ${\displaystyle =f\left(x\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=f\left(x\right)}$

が得られる．

　

ホーム>>カテゴリー分類>>積分 >>定積分の基本式>>定積分で定義された関数の微分

最終更新日： 2025年9月5日