定積分の基本式

1. ${\displaystyle \int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)}$  のとき（ ${\displaystyle F\left(x\right)}$ は ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の原始関数の1である ）

   ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\left[F\left(x\right)\right]}_a^b}$ ${\displaystyle =F\left(b\right)-F\left(a\right)}$ ⇒ここを参照

2. ${\displaystyle {\int }_a^{b}cf\left(x\right)dx=c{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ （ただし， c は定数）　　⇒導出計算
3. ${\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}dx}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}$ ⇒導出計算
4. ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx}$ ⇒導出計算
5. ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx}$ ⇒導出計算
6. ${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=f\left(x\right)}$ ⇒導出計算はここ

   ポイント： $f\left(t\right)$ の部分には $x$  を含んでいてはいけない． 積分範囲に注意． $x$  は上端でなければならない．

7. ${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_x^{x+b}f\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{{\int }_a^{x+b}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt\right\}}$ ${\displaystyle =f\left(x+b\right)-f\left(x\right)}$ ⇒導出計算

   ポイント：変数 x が上端，下端両方に含まれている場合．

8. ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$   （ $f\left(x\right)$ ：偶関数）　　⇒導出計算

   ポイント：積分範囲の変更に注目

9. ${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0}$   （ $f\left(x\right)$ ：奇関数）　　⇒導出計算
10. ${\displaystyle {\int }_0^{\pi }sin\left(\pi -x\right)dx={\int }_0^{\pi }sinxdx}$ （左記は一例）　　⇒導出計算

    ポイント：周期関数の場合はその周期に着目して，計算の簡単化を図る．

11. ${\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{6}{\left(\beta -\alpha \right)}^3}$ ⇒導出計算はここ

 

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最終更新日： 2026年2月10日