定積分の基本式(3) 関数の和

定積分の基本式(3) 関数の和

a b { f( x )±g( x ) } dx = a b f( x ) dx± a b g( x )dx

■導出

f( x ),g( x ) 原始関数をそれぞれ F( x ),G( x ) とし

H( x )=F( x )+G( x )

とおく.

d dx H( x )= d dx { F( x )+G( x ) }

= d dx F( x )+ d dx G( x )

=f( x )+g( x )   (∵ここを参照)

すなわち, f( x )+g( x ) の原始関数が H( x ) である.

よって

a b { f( x )+g( x ) } dx=H( b )H( a )

となる.ここで右辺を以下のように変形すると

=F( b )+G( b ){ F( a )G( a ) }

=F( b )+F( a )+G( b )G( a )

= a b f( x ) dx+ a b g( x ) dx

以上より

a b { f( x )+g( x ) } dx = a b f( x ) dx+ a b g( x ) dx

同様にして

a b { f( x )g( x ) } dx = a b f( x ) dx a b g( x ) dx

 

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最終更新日: 2023年7月30日