定積分の基本式(3)　関数の和

${\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}dx}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\pm {\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}$

■導出

${\displaystyle f\left(x\right),g\left(x\right)}$ の原始関数をそれぞれ ${\displaystyle F\left(x\right),G\left(x\right)}$ とし

${\displaystyle H\left(x\right)=F\left(x\right)+G\left(x\right)}$ 　･･････(1)

とおく．

${\displaystyle \frac{d}{dx}H\left(x\right)=\frac{d}{dx}\left\{F\left(x\right)+G\left(x\right)\right\}}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}F\left(x\right)+\frac{d}{dx}G\left(x\right)}$

${\displaystyle =f\left(x\right)+g\left(x\right)}$ (∵ここを参照)

すなわち， ${\displaystyle f\left(x\right)+g\left(x\right)}$ の原始関数が ${\displaystyle H\left(x\right)}$ である．

よって

${\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\}dx=H\left(b\right)-H\left(a\right)}$

となる．ここで右辺を(1)を用いて以下のように変形すると

${\displaystyle =F\left(b\right)+G\left(b\right)-\left\{F\left(a\right)+G\left(a\right)\right\}}$

${\displaystyle =F\left(b\right)-F\left(a\right)+G\left(b\right)-G\left(a\right)}$

${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}$

以上より

${\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\right\}dx}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}$

同様にして

${\displaystyle {\int }_a^b\left\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\right\}dx}$ ${\displaystyle ={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx}$

　

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最終更新日： 2025年8月8日