定積分の基本式(7) 偶関数の場合

${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$　　(${\displaystyle f\left(x\right)}$:偶関数)

■導出

${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx}$${\displaystyle ={\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$　　･･････(1)

右辺の第１項について，${\displaystyle x=-t}$とおき置換積分する．

${\displaystyle \frac{dx}{dt}=-1}$ より，${\displaystyle dx=-dt}$　${\displaystyle \left(x:-a\to 0,t:a\to 0\right)}$なので

${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx={\int }_a^{0}f\left(-t\right)\cdot \left(-1\right)dt}$

${\displaystyle =-{\int }_a^{0}f\left(-t\right)dt}$

${\displaystyle ={\int }_0^{a}f\left(-t\right)dt}$ 　

　(∵${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=-{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx}$　ここを参照)

${\displaystyle f\left(x\right)}$が偶関数なので ${\displaystyle f\left(t\right)=f\left(-t\right)}$となり

${\displaystyle ={\int }_0^{a}f\left(t\right)dt}$

また，変数を${\displaystyle t}$から${\displaystyle x}$に置き換えても積分値は変わらないので

${\displaystyle ={\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$

と表すことができ，(1)式は以下のようになる．

${\displaystyle {\int }_{-a}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$

${\displaystyle ={\int }_0^{a}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$

${\displaystyle =2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$

よって

${\displaystyle {\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx}$

　

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最終更新日： 2023年7月30日