定積分の基本式(7) 偶関数の場合

定積分の基本式(7) 偶関数の場合

a a f( x ) dx=2 0 a f( x ) dx   ( f( x ) :偶関数)

■導出

a a f( x ) dx = a 0 f( x ) dx+ 0 a f( x ) dx   ・・・・・・(1)

右辺の第1項について, x=t とおき置換積分する.

dx dt =1 より, dx=dt   ( x:a0,t:a0 ) なので

a 0 f( x ) dx= a 0 f( t ) ( 1 )dt

= a 0 f( t ) dt

= 0 a f( t ) dt  

 (∵ a b f( x ) dx= b a f( x ) dx  ここを参照)

f( x ) 偶関数なので f( t )=f( t ) となり

= 0 a f( t ) dt

また,変数を t から x に置き換えても積分値は変わらないので

= 0 a f( x ) dx

と表すことができ,(1)式は以下のようになる.

a 0 f( x ) dx+ 0 a f( x ) dx

= 0 a f( x ) dx+ 0 a f( x ) dx

=2 0 a f( x ) dx

よって

a a f( x ) dx=2 0 a f( x ) dx

 

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最終更新日: 2023年7月30日