定積分の基本式(2)　関数の定数倍

${\displaystyle {\int }_a^{b}cf\left(x\right)dx=c{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$

■導出

${\displaystyle f\left(x\right)}$の原始関数を ${\displaystyle F\left(x\right)}$とすると

${\displaystyle \frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)}$

となる．両辺を${\displaystyle c}$倍すると

${\displaystyle c\left\{\frac{d}{dx}F\left(x\right)\right\}=cf\left(x\right)}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left\{cF\left(x\right)\right\}=cf\left(x\right)}$　(∵ここを参照)

となる．すなわち，${\displaystyle cf\left(x\right)}$の原始関数は${\displaystyle cF\left(x\right)}$である．

よって

${\displaystyle {\int }_a^{b}cf\left(x\right)dx=cF\left(b\right)-cF\left(a\right)}$

となる．右辺を以下のように変形すると

${\displaystyle =c\left\{F\left(b\right)-F\left(a\right)\right\}}$

${\displaystyle =c{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$

以上より

${\displaystyle {\int }_a^{b}cf\left(x\right)dx=c{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}$

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最終更新日： 2023年7月30日