定積分の基本式(6)　定積分の微分

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_x^{x+b}f\left(t\right)dt}$ ${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{{\int }_x^{x+b}f\left(t\right)dt-{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt\right\}}$ ${\displaystyle =f\left(x+b\right)-f\left(x\right)}$

■導出

関数${\displaystyle f\left(x\right)}$の原始関数を ${\displaystyle F\left(x\right)}$とすると，${\displaystyle \left(\frac{d}{dx}F\left(x\right)=f\left(x\right)\right)}$

${\displaystyle {\int }_x^{x+b}f\left(x\right)dx=F\left(x+b\right)-F\left(x\right)}$

となる．よって

${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_x^{x+b}f\left(x\right)dx}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{F\left(x+b\right)-F\left(x\right)\right\}}$

${\displaystyle =F^{\prime }\left(x+b\right)-F^{\prime }\left(x\right)}$

${\displaystyle =f\left(x+b\right)-f\left(x\right)}$

　

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学生スタッフ作成
最終更新日： 2023年7月30日