指数関数の一般形

指数関数 $y=a^x$ のグラフを原点を中心に $x$ 軸方向，および， $x$ 方向に拡大した後，平行移動したグラフを表す関数は、一般的に

${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$ 　･･････(1)

ただし，$\alpha >0$，$\alpha \ne 1$ であるとする．

と表すことができる．(１)のことをKIT数学ナビゲーションでは，指数関数の一般形ということにする．

■解説

$y=a^x$ のグラフを，原点を中心に $x$ 軸方向に $u$ ， $x$ 方向に$v$ 拡大した後， $x$ 軸方向に $p$ ， $y$ 方向に $q$ 平行移動したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y-q}{v}=a^{\frac{x-p}{u}}}$　･･････(2)

となる．この式に関しては，グラフの拡大→グラフの平行移動した関数を参考にするとよい．

(2)を以下のように式変形をする．

${\displaystyle \frac{y-q}{v}={\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^{x-p}}$　（∵${\displaystyle {\left(a^r\right)}^s=a^{rs}}$ 詳しくはここを参照）

${\displaystyle \frac{y-q}{v}={\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^{-p}{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^x}$　（∵${\displaystyle a^r\cdot a^s=a^{r+s}}$ 詳しくはここを参照）

${\displaystyle y-q=v{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^{-p}{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^x}$

${\displaystyle y=v{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^{-p}{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^x+q}$

${\displaystyle a^{\frac{1}{u}}=\alpha }$ ，${\displaystyle v{\left(a^{\frac{1}{u}}\right)}^{-p}=\beta }$ ，$q=\gamma$ とおくと

${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$

となり，(1)が得られる．

${\displaystyle y={\alpha }^x}$ のグラフの漸近線 は $x$軸である．よって，${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x}$ のグラフの漸近線も$x$軸である．

${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$ のグラフは${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x}$ のグラフを $y$ 方向に $\gamma$ 平行移動したものになる．

よって，${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$ のグラフの漸近線は

直線 $y=\gamma$

となる．

今度は，極限を使った方法で${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$ のグラフの漸近線を求めてみる．

$\alpha >1$ のとき

${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma \right)}$ ${\displaystyle =\beta \left(\underset{x\to -\infty }{\lim }{\alpha }^x\right)+\gamma }$ ${\displaystyle =\beta \cdot 0+\gamma =\gamma }$

${\displaystyle 0<\alpha <1}$ のとき

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }\left(\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma \right)}$ ${\displaystyle =\beta \left(\underset{x\to \infty }{\lim }{\alpha }^x\right)+\gamma }$ ${\displaystyle =\beta \cdot 0+\gamma =\gamma }$

$\alpha >1$，${\displaystyle 0<\alpha <1}$のいずれの場合も，直線 $y=\gamma$ が ${\displaystyle y=\beta \cdot {\alpha }^x+\gamma }$ のグラフの漸近線となる．

　

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最終更新日： 2024年2月8日