部分分数分解の一意性(2)

${\displaystyle P\left(x\right)}$ は ${\displaystyle m}$ 次の整式とし， ${\displaystyle {\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}$ と ${\displaystyle k}$ 次の整式 ${\displaystyle G\left(x\right)}$ からなる有理関数（ただし，${\displaystyle mn>k}$ ）

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}}$

は

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}=\frac{A\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}+\frac{B\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^{n-1}}}$

のように， ${\displaystyle {\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}$ と ${\displaystyle {\left\{P\left(x\right)\right\}}^{n-1}}$ を分母とする分数，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式 ${\displaystyle A\left(x\right)}$ ， ${\displaystyle B\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle i_A}$ ， ${\displaystyle j_B}$ とすると

${\displaystyle i_A<m}$ ，${\displaystyle j_B<m\left(n-1\right)}$

である．

■証明

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}=\frac{A\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}+\frac{B\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^{n-1}}}$　･･････(1)

(1)を通分すると

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}=\frac{A\left(x\right)+B\left(x\right)P\left(x\right)}{{\left\{P\left(x\right)\right\}}^n}}$　･･････(2)

となり

${\displaystyle G\left(x\right)=A\left(x\right)+B\left(x\right)P\left(x\right)}$　･･････(3)

の関係が得られる．

と表すことができる．

(3)は ${\displaystyle G\left(x\right)}$ を ${\displaystyle P\left(x\right)}$ で割ったときの商が ${\displaystyle B\left(x\right)}$ ， 余りが ${\displaystyle A\left(x\right)}$ となることを示している．

${\displaystyle G\left(x\right)}$ の次数が ${\displaystyle k}$ ， ${\displaystyle P\left(x\right)}$ の次数が ${\displaystyle m}$ より

${\displaystyle A\left(x\right)}$ の次数 $i_A$ は， $i_A<m$

$B\left(x\right)$の次数$j_B$ は，$j_B=k-m<nm-m=m\left(n-1\right)$

(3)は一意に決まるので，(1)も一意に決まる．

　

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最終更新日： 2025年1月6日