部分分数分解の一意性

${\displaystyle m}$ 次の整式${\displaystyle F\left(x\right)}$ と${\displaystyle n}$ 次の整式${\displaystyle G\left(x\right)}$ からなる有利関数．

${\displaystyle F\left(x\right)=P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ に因数分解され ${\displaystyle }$ ，${\displaystyle P\left(x\right)}$と${\displaystyle Q\left(x\right)}$は互いに素（共通因数をもたない）であるとすると

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ 　

において ，${\displaystyle m>n}$ であり${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$は

${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\frac{A\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$ 　

と${\displaystyle P\left(x\right)}$ ，${\displaystyle Q\left(x\right)}$を分母とする分数 ${\displaystyle }$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

このとき，整式${\displaystyle A\left(x\right)}$ ，${\displaystyle B\left(x\right)}$ ，${\displaystyle P\left(x\right)}$ ，${\displaystyle Q\left(x\right)}$ の次数を ${\displaystyle i_A}$ ，${\displaystyle j_B}$ ，${\displaystyle k_P}$ ，${\displaystyle l_Q}$ とすると

${\displaystyle i_A<k_P}$， ${\displaystyle j_B<l_Q}$，${\displaystyle k_P+l_Q=m}$ 　

である．

■証明

${\displaystyle k_P\geqq l_Q}$ として，${\displaystyle P\left(x\right)}$を${\displaystyle Q\left(x\right)}$ で割ったときの商を${\displaystyle S_1\left(x\right)}$ 余りを${\displaystyle R_1\left(x\right)}$ とすると

${\displaystyle P\left(x\right)=S_1\left(x\right)Q\left(x\right)+R_1\left(x\right) }$ 　･･････(1)

と表すことができる．

${\displaystyle S_1\left(x\right)}$の次数を，${\displaystyle s_1}$ ，${\displaystyle R_1\left(x\right)}$の次数を${\displaystyle r_1}$ とすると

${\displaystyle k_P=s_1+l_Q}$ ，${\displaystyle r_1<l_Q}$ 　

の関係がある．

また，(1)より

${\displaystyle R_1\left(x\right)=P\left(x\right)-S_1\left(x\right)Q\left(x\right)}$ 　･･････(2)

となる．

次に，${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を${\displaystyle R_1\left(x\right)}$で割ったときの商を${\displaystyle S_2\left(x\right)}$，余りを${\displaystyle R_2\left(x\right)}$とすると

${\displaystyle Q\left(x\right)=S_2\left(x\right)R_1\left(x\right)+R_2(x) }$ ･･････(3)

と表すことができる．

${\displaystyle S_2\left(x\right)}$ の次数を${\displaystyle s_2}$ ，${\displaystyle R_2\left(x\right)}$の次数を${\displaystyle r_2}$ とすると

${\displaystyle l_Q=s_2+r_1}$ ， ${\displaystyle r_2<r_1}$ 　

の関係がある．

また，(3)より

${\displaystyle R_2\left(x\right)=Q\left(x\right)-S_2\left(x\right)R_1\left(x\right)}$ 　･･････(4)

と表すことができる．

このような操作を余りの次数が0次，すなわち余りが定数項のみになるまで繰り返す．

${\displaystyle R_3\left(x\right)=R_1\left(x\right)-S_3\left(x\right)R_2\left(x\right)}$　･･････(5-1)

${\displaystyle R_4\left(x\right)=R_2\left(x\right)-S_4\left(x\right)R_3\left(x\right)}$　･･････(5-2)

　　・・・

となり

${\displaystyle R_n(x)}$ の次数${\displaystyle r_n}$ は0である（${\displaystyle r_n}$ =0）．よって

${\displaystyle R_n(x)=C}$　･･････(6)

${\displaystyle C}$ はある値）

となる．(2)を(4)に代入する．

(5-1)に(2)と(7)を代入する．

このような操作を繰り返すと，一般に以下のように表すことができる．

${\displaystyle R_n\left(x\right)=T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)}$　･･････(9)

${\displaystyle T_n\left(x\right)}$ ，${\displaystyle U_n\left(x\right)}$は多項式

(9)に(6)を代入すると

${\displaystyle T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)=C}$ 　･･････(10) 　

の形で表される．(10)の両辺を${\displaystyle C}$ で割ると

${\displaystyle \frac{1}{C}\left\{T_n\left(x\right)P\left(x\right)+U_n\left(x\right)Q\left(x\right)\right\}=1}$

${\displaystyle \frac{1}{C}{T}_n\left(x\right)=V\left(x\right),\frac{1}{C}{U}_n\left(x\right)=W\left(x\right)}$ とおくと

${\displaystyle V\left(x\right)P\left(x\right)+W\left(x\right)Q\left(x\right)=1}$　･･････(11)

となる．

(11)の両辺に${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ をかける．

(12)の左辺の${\displaystyle F\left(x\right)}$ に${\displaystyle F\left(x\right)=P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ を代入する．

${\displaystyle G\left(x\right)W\left(x\right)}$ を ${\displaystyle P\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle X\left(x\right)}$, 余りを ${\displaystyle A\left(x\right)}$， ${\displaystyle G\left(x\right)V\left(x\right)}$ を ${\displaystyle Q\left(x\right)}$ で割ったときの商を ${\displaystyle Y\left(x\right)}$ , 余りを ${\displaystyle B\left(x\right)}$ とすると (${\displaystyle A\left(x\right)}$ は${\displaystyle P\left(x\right)}$ より低次数, ${\displaystyle B\left(x\right)}$ は${\displaystyle Q\left(x\right)}$ より低次数となる. )

${\displaystyle G\left(x\right)W\left(x\right)=X\left(x\right)P\left(x\right)+A\left(x\right)}$　･･････(14)

${\displaystyle G\left(x\right)V\left(x\right)=Y\left(x\right)Q\left(x\right)+B\left(x\right)}$　･･････(15)

となる．(14)に(15), (13)を代入する.

${\displaystyle P\left(x\right)Q\left(x\right)}$ の次数は ${\displaystyle k_P+l_Q=m}$ で分子の次数（${\displaystyle G\left(x\right)}$ の次数）${\displaystyle n}$ より大きい．よって

${\displaystyle Y\left(x\right)+X\left(x\right)=0}$ 　

となる．よって，(16)は

${\displaystyle \frac{B\left(x\right)P\left(x\right)+A\left(x\right)Q\left(x\right)}{Q\left(x\right)P\left(x\right)}=\frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$ 　
${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\frac{A\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$　･･････(17) 　

となり，${\displaystyle \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}}$は，と${\displaystyle P\left(x\right)}$ ，${\displaystyle Q\left(x\right)}$を分母とする分数 ${\displaystyle }$ ，いわゆる部分分数に一意に分解できる．

${\displaystyle \frac{A_1\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B_1\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\frac{A_2\left(x\right)}{P\left(x\right)}+\frac{B_2\left(x\right)}{Q\left(x\right)}}$　･･････(18) 　

とおく．(18)を以下のように変形する．

${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)}$が整式になるためには

(i) ${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)=0}$ で${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)=0}$ となる場合

あるいは

(ii)${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)}$ が${\displaystyle Q\left(x\right)}$ を因数として含む場合

である．

(ii)の場合

${\displaystyle B_1\left(x\right)-B_2\left(x\right)=Q\left(x\right)B_3\left(x\right)}$ 　

とおくと

${\displaystyle A_1\left(x\right)-A_2\left(x\right)=-B_3\left(x\right)P\left(x\right)}$　･･････(20)

となる．(20)の左辺の次数の最大値は，${\displaystyle A_1\left(x\right)}$ の次数，あるいは，${\displaystyle A_2\left(x\right)}$ である．

一方，(20)の右辺の次数の最小値は，${\displaystyle P\left(x\right)}$ の次数である．

${\displaystyle A_1\left(x\right)}$，${\displaystyle A_2\left(x\right)}$の次数は，${\displaystyle P\left(x\right)}$の次数より低い．よって(20)が成り立つことはない．すなわち，(ii)の場合は存在せず，(i)の場合だけである．

したがって

${\displaystyle A_1\left(x\right)=A_2\left(x\right)}$，${\displaystyle B_1\left(x\right)=B_2\left(x\right)}$

となり，部分分数分解は一意に決まる．

　

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最終更新日： 2023年7月11日