平方根（ルート）の計算則

$a$，$b$，$k$が正の数のとき

1. ${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$  ⇒ 導出
2. ${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$  ⇒ 導出
3. ${\displaystyle \sqrt{k^{2}a}=k\sqrt{a}}$  ⇒ 導出

■導出

●${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$

${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\sqrt{b}\right)}^2={\left(\sqrt{a}\right)}^2{\left(\sqrt{b}\right)}^2}$${\displaystyle =ab}$

（∵${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\right)}^2=a}$ ．${\displaystyle {\left(\sqrt{b}\right)}^2=b}$）

$\sqrt{a}\sqrt{b}>0$， ${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}}$ を2乗すると ${\displaystyle ab}$ になっている．よって， 平方根の定義より

${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$

となる．

●${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$

${\displaystyle {\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}{{\left(\sqrt{b}\right)}^2}=\frac{a}{b}}$

（∵${\displaystyle {\left(\sqrt{a}\right)}^2=a}$ ．${\displaystyle {\left(\sqrt{b}\right)}^2=b}$）

${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}>0}$ ，${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}$ を2乗すると ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ になっている．よって， 平方根の定義より

${\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}}$

となる．

●${\displaystyle \sqrt{k^{2}a}=k\sqrt{a}}$

$\sqrt{k^{2}a}=\sqrt{k^2}\sqrt{a}$  （∵計算則1の${\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}}$ ）

${\displaystyle =k\sqrt{a}}$  （∵平方根の性質 ${\displaystyle \sqrt{k^2}=k}$  （$k>0$ ） ）

 

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最終更新日： 2025年12月22日