マクローリン展開 sinx

sinx のマクローリン展開

sinx=x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 +  

■導出 

f( x )=sinx とおく. f( 0 )=sin0=0

f ' ( x )=cosx    f ' ( 0 )=cos0=1

f '' ( x )=sinx    f '' ( 0 )=sin0=0

f ''' ( x )=cosx    f ''' ( 0 )=cos0=1

f ( 4 ) ( x )=sinx    f ( 4 ) ( 0 )=sin0=0

f ( 5 ) ( x )=cosx    f ( 5 ) ( 0 )=cos0=1

である(以下,これの繰り返し).すなわち, m=0,1,2 に対して  

f ( n ) ( 0 )={ 0 ( n=2m ) 1 ( n=4m+1 ) 1 ( n=4m+3 )  

したがって,マクローリン展開の公式 

f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 + + f ( n ) ( 0 ) n! x n +  

に代入して

sinx=0+1x+ 0 2! x 2 + 1 3! x 3 + 0 4! x 4 + 1 5! x 5 + 0 6! x 6 + 1 7! x 7 +

=x 1 3! x 3 + 1 5! x 5 1 7! x 7 +

■収束半径 

a n = ( 1 ) n ( 2n+1 )! , a n+1 = ( 1 ) n+1 ( 2n+3 )!

lim n | a n+1 a n | = lim n | ( 1 ) n+1 ( 2n+3 )! ( 1 ) n ( 2n+1 )! | = lim n | ( 1 ) n+1 ( 1 ) n ( 2n+1 )! ( 2n+3 )! | = lim n | 1 ( 2n+2 )( 2n+3 ) | =0

よって,収束半径 R ( R= 1 α ) α0 より R

R=

となる.

■インターラクティブなグラフ

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最終更新日: 2022年12月7日