収束半径

べき級数 ${\displaystyle \sum a_n{x}^n}$ において

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\alpha }$ あるいは${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\alpha }$

となる${\displaystyle \alpha }$ が存在すれば

${\displaystyle R=\frac{1}{\alpha }}$

を収束半径という．

ただし，${\displaystyle \alpha =0}$ のとき${\displaystyle R=\infty }$ ，${\displaystyle \alpha =\infty }$ のとき${\displaystyle R=0}$ とする．

${\displaystyle \sum a_n{x}^n}$は${\displaystyle \left|x\right|<R}$ をみたすすべての${\displaystyle x}$ に対して絶対収束（ ${\displaystyle \sum \left|a_n{x}^n\right|}$ が収束）する．

 

以下のページ参照せよ．級数の収束性（１），級数の収束性（２）

 

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最終更新日： 2022年5月29日