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an>0 である正項級数∑anにおいて
limn→∞n√an=r ・・・・・・(1)
が存在するとき
limn√an=r が存在する場合,あるN を越えると,すなわちn>N では
r−ε<n√an<r+ε ・・・・・・(2) (ε は正の任意定数)
が成り立つ.
N を用いると
∞∑n=1an=N∑n=1an+∞∑n=N+1an ・・・・・・(3)
と書きかえられる.
Nはある自然数であるので
N∑n=1an=K
となる定数K が存在する.
(2)より
(r−ε)n<an<(r+ε)n ・・・・・・(4)
よって
n−N=m とおくと,n=N+1 のときm=1 ,n→∞ のときm→∞
よって
となる.
0<r<1 のとき,εは任意なので,0<r−ε<r<r+ε<1となるεをとることができる.
よって(5)より
r−ε1−(r−ε)<∞∑n=N+1an<r+ε1−(r+ε)
となり
∞∑n=N+1an=L ・・・・・・(6)
となる定数L が存在する
したがって(3)(5)(6)より
∞∑n=1an=K+L
1<rのとき,εは任意なので1<r−ε<r となるεをとることができる
r−ε>1 のときm→∞ならば,(r−ε)m→∞ となるので
limm→∞(r−ε)1−(r−ε)m1−(r−ε)=∞
となり
∞∑n=N+1an=∞ ・・・・・・(7)
となる.
したがって(3)(5)(7)より
∞∑n=1an=∞
となり発散する.
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最終更新日: 2022年5月29日