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応用分野: 収束半径

級数の収束性(1)

an>0 である正項級数anにおいて 

limnnan=r  ・・・・・・(1)

が存在するとき

  • r<1 ならばan収束する
  • r>1 ならばan発散する

■証明

limnan=r が存在する場合,あるN を越えると,すなわちn>N では

rε<nan<r+ε ・・・・・・(2) (ε は正の任意定数)

が成り立つ.

N を用いると

n=1an=Nn=1an+n=N+1an ・・・・・・(3)

と書きかえられる.

Nはある自然数であるので

Nn=1an=K

となる定数K が存在する.

(2)より

(rε)n<an<(r+ε)n  ・・・・・・(4)

よって

n=N+1(rε)n<n=N+1an<n=N+1(r+ε)n

nN=m とおくと,n=N+1 のときm=1n のときm

よって

m=1(rε)m<n=N+1an<m=1(r+ε)m

limm(rε)1(rε)m1(rε)<n=N+1an<limm(r+ε)1(r+ε)m1(r+ε) ・・・・・・(5)

となる.

 

0<r<1 のとき,εは任意なので,0<rε<r<r+ε<1となるεをとることができる.

よって(5)より

rε1(rε)<n=N+1an<r+ε1(r+ε)

となり

n=N+1an=L ・・・・・・(6)

となる定数L が存在する

したがって(3)(5)(6)より

n=1an=K+L

 

1<rのとき,εは任意なので1<rε<r となるεをとることができる

rε>1 のときmならば,(rε)m となるので

limm(rε)1(rε)m1(rε)=

となり

n=N+1an= ・・・・・・(7)

となる.

したがって(3)(5)(7)より

n=1an=

となり発散する.

 

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最終更新日: 2022年5月29日

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