級数の収束性（１）

${\displaystyle a_n>0}$ である正項級数 ${\displaystyle \sum a_n}$ において

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sqrt[n]{a_n}=r}$  ･･････(1)

が存在するとき

• ${\displaystyle r<1}$ ならば ${\displaystyle \sum a_n}$ は収束する
• ${\displaystyle r>1}$ ならば ${\displaystyle \sum a_n}$ は発散する

■証明

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{lim}\sqrt[n]{a_n}=r}$ が存在するので，任意の正の ${\displaystyle \epsilon }$ に対して ，ある ${\displaystyle N}$ が存在し， $n>N$ では

${\displaystyle r-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}<r+\epsilon }$   ･･････(2)

が成り立つ．

${\displaystyle N}$ を用いると

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^N{a}_n+\sum _{n=N+1}^{\infty }{a}_n}$  ･･････(3)

と書き換えられる．

${\displaystyle N}$ はある自然数であるから

${\displaystyle \sum _{n=1}^N{a}_n=K}$   ･･････(4)

となる定数 ${\displaystyle K}$ が存在する．

${\displaystyle S_M=a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\cdots +a_M}$ ${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_n}$   ･･････(5)

とおくと

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^{\infty }{a}_n=\underset{M\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_n}$   ･･････(6)

と表せる．

$a_n>0$ より， $S_M$ は単調増加する．

$S_M$ について検討する．

● ${\displaystyle r<1}$ のとき

正項級数なので， $a_n>0$ より， $\sqrt[n]{a_n}>0$ である．よって， ${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}=r\geqq 0}$ となる．

したがって， ${\displaystyle 0<\epsilon <1-r}$ となる ${\displaystyle \epsilon }$ を取れば， ${\displaystyle 0<r+\epsilon <1}$ となる ．

(2)より

${\displaystyle \sqrt[n]{a_n}<r+\epsilon }$

${\displaystyle a_n<{\left(r+\epsilon \right)}^n}$   ･･････(7)

よって

と書き換えられる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{\left(r+\epsilon \right)}^n}$ ${\displaystyle ={\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}+{\left(r+\epsilon \right)}^{N+2}+\cdots +{\left(r+\epsilon \right)}^M}$

初項は ${\displaystyle {\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}}$ ，公比は ${\displaystyle \left(r+\epsilon \right)}$ ， ${\displaystyle {\left(r+\epsilon \right)}^M}$ は第 ${\displaystyle M-N}$ 項である．等比数列の和より

${\displaystyle ={\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r+\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r+\epsilon \right)}}$   ･･････(10)

よって，(9)は

となる．

${\displaystyle a_n>0}$ と(11)より

${\displaystyle 0<S_M<{\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r+\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r+\epsilon \right)}}$   ･･････(12)

となり

${\displaystyle 0<r+\epsilon <1}$ のとき， ${\displaystyle M\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(r+\epsilon \right)}^{M-N}\to 0}$ となる． よって

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r+\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r+\epsilon \right)}}$ ${\displaystyle =\frac{{\left(r+\epsilon \right)}^{N+1}}{1-\left(r+\epsilon \right)}}$   ･･････(13)

となる． ${\displaystyle S_M}$ は単調増加で，かつ，(12)，(13)より上に有界である．よって

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=L}$  ･･････(14)

となる有限な正の定数 ${\displaystyle L}$ が存在する．

したがって（3)，(4)，(6)，(14)より

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=K+L}$   ･･････(15)

となり，収束する．

● ${\displaystyle 1<r}$ のとき

${\displaystyle 0<\epsilon <r-1}$ となる ${\displaystyle \epsilon }$ をとると， ${\displaystyle 1<r-\epsilon <r}$ となる

(2)より

${\displaystyle r-\epsilon <\sqrt[n]{a_n}}$

${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^n<a_n}$   ･･････(16)

よって

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^M{\left(r-\epsilon \right)}^n<\sum _{n=N+1}^M{a}_n}$   ･･････(17)

(5)を用いると

${\displaystyle \sum _{n=N+1}^M{\left(r-\epsilon \right)}^n<S_M}$   ･･････(18)

と書き換えられる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{\left(r-\epsilon \right)}^n}$ ${\displaystyle ={\left(r-\epsilon \right)}^{N+1}+{\left(r-\epsilon \right)}^{N+2}+\cdots +{\left(r-\epsilon \right)}^M}$

初項は ${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^{N+1}}$ ，公比は ${\displaystyle \left(r-\epsilon \right)}$ ， ${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^M}$ は第 ${\displaystyle M-N}$ 項である．等比数列の和より

(18)より

${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}<S_M}$   ･･････(19)

${\displaystyle 1<r-\epsilon <r}$ のとき， ${\displaystyle M\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}\to \infty }$ ，また， ${\displaystyle 1-\left(r-\epsilon \right)<0}$ となるので

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{\left(r-\epsilon \right)}^{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}=\infty }$   ･･････(20)

となり

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=\infty }$   ･･････(21)

となる．

したがって(3)，(4)，(6)，(21)より

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=K+\underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=\infty }$   ･･････(22)

となり発散する．

 

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最終更新日： 2026年10月6日