級数の収束性(2)

級数の収束性(2)

a n >0 である正項級数 a n において 

lim n a n+1 a n =r  ・・・・・・(1)

が存在するとき

■証明

lim n a n+1 a n =r が存在する場合,ある N を越えると,すなわち n>N では

rε< a n+1 a n <r+ε  ・・・・・・(2) ( ε は正の任意定数)

が成り立つ.

N を用いると

n=1 a n = n=1 N a n + n=N+1 a n  ・・・・・・(3)

と書きかえられる.

N はある自然数であるので

n=1 N a n =K  ・・・・・・(4)

となる定数 K が存在する.

a N+1 = a N a N+1 a N

( rε< a N+1 <r+ε )

a N+2 = a N+1 a N+2 a N+1 = a N a N+1 a N a N+2 a N+1

( a N ( rε ) 2 < a N+2 < a N ( r+ε ) 2 )

                

a n = a N a N+1 a N a N+2 a N+1 a n a n1

( a N ( rε ) nN < a n < a N ( r+ε ) n+N )

よって

n=N+1 a N ( rε ) nN < n=N+1 a n < n=N+1 a N ( r+ε ) nN

nN=m とおくと, n=N+1 のとき m=1 n のとき m

よって

m=1 a N ( rε ) m < n=N+1 a n < n=N+1 a N ( r+ε ) m

lim m a n ( rε ) 1 ( rε ) m 1( rε ) < n=N+1 a n < lim m a n ( r+ε ) 1 ( r+ε ) m 1( r+ε )  ・・・・・・(5)

となる.

 

0<r<1 のとき, ε は任意なので, 0<rε<r<r+ε<1 となる ε をとることができる.

よって(5)より

a N rε 1( rε ) < n=N+1 a n < a N r+ε 1( r+ε )

となり

n=N+1 a n =L  ・・・・・・(6)

となる定数 L が存在する.

したがって(3)(4)(6)より n=1 a n は収束する.

 

1<r のとき, ε は任意なので 1<rε<r となる ε をとることができる

rε>1 のとき m ならば, ( rε ) m となるので

lim m a N ( rε ) 1 ( rε ) m 1( rε ) =

となり

n=N+1 a n =  ・・・・・・(7)

となる.

したがって(3)(5)(7)より

n=1 a n =

となり発散する.

 

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最終更新日: 2023年7月27日