級数の収束性（２）

${\displaystyle a_n>0}$ である正項級数 ${\displaystyle \sum a_n}$ において　

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r}$  ･･････(1)

が存在するとき

• ${\displaystyle 0<r<1}$ ならば ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ は収束する
• ${\displaystyle r>1}$ ならば ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n}$ は発散する

■証明

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=r}$ が存在するので，任意の正の ${\displaystyle \epsilon }$ に対して ，ある ${\displaystyle N}$ が存在し， $n>N$ では

${\displaystyle r-\epsilon <\frac{a_{n+1}}{a_n}<r+\epsilon }$  ･･････(2)

が成り立つ．

${\displaystyle N}$ を用いると

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\sum _{n=1}^N{a}_n+\sum _{n=N+1}^{\infty }{a}_n}$  ･･････(3)

と書きかえられる．

${\displaystyle N}$ はある自然数であるので

${\displaystyle \sum _{n=1}^N{a}_n=K}$  ･･････(4)

となる定数 ${\displaystyle K}$ が存在する．

${\displaystyle S_M=a_{N+1}+a_{N+2}+a_{N+3}+\cdots +a_M}$${\displaystyle ={\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_n}$  ･･････(5)

とおくと

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^{\infty }{a}_n=\underset{M\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_n}$  ･･････(6)

と表せる．

$a_n>0$ より，$S_M$ は単調増加する．

$S_M$ について検討する．

●${\displaystyle 0<r<1}$ のとき

${\displaystyle 0<\epsilon <1-r}$ となる ${\displaystyle \epsilon }$ を取れば， ${\displaystyle 0<r+\epsilon <1}$ となる ．

(2)より

${\displaystyle \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}<r+\epsilon }$   ･･････(7)

よって

${\displaystyle a_{N+2}<a_{N+1}\left(r+\epsilon \right)}$   ･･････(8)

となる．

(2)より

${\displaystyle \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}<r+\epsilon }$   ･･････(9)

(8)と(9)より

${\displaystyle a_{N+2}\cdot \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}<a_{N+1}{\left(r+\epsilon \right)}^2}$   ･･････(10)

よって

${\displaystyle a_{N+3}<a_{N+1}{\left(r+\epsilon \right)}^2}$   ･･････(11)

となる．

                 ${\displaystyle ⋮}$

同様にして

${\displaystyle a_k<a_{N+1}{\left(r+\epsilon \right)}^{k-N-1}}$   ･･････(12)

となる．

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^{n-N-1}}$${\displaystyle =a_{N+1}+a_{N+1}\left(r-\epsilon \right)+a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^2+\cdots +a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N-1}}$

等比数列の和より

${\displaystyle =a_{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}}$  ･･････(14)

(13）に(14)を代入すると

${\displaystyle S_M<a_{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}}$  ･･････(15)

となる．${\displaystyle S_M}$ は単調増加で，かつ，${\displaystyle S_M}$ は(16)より上に有界である．よって

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=L}$  ･･････(17)

となる正の定数 ${\displaystyle L}$ が存在する．

したがって（3)，(4)，(6)，(17)より

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=K+L}$  ･･････(18)

となり，収束する．

 

●${\displaystyle 1<r}$ のとき

${\displaystyle 0<\epsilon <r-1}$ となる ${\displaystyle \epsilon }$ をとると， ${\displaystyle 1<r-\epsilon <r}$ となる

(2)より

${\displaystyle {\displaystyle r-\epsilon <\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}}}$   ･･････(19)

よって

${\displaystyle a_{N+1}\left(r-\epsilon \right)<a_{N+2}}$   ･･････(20)

となる．

(2)より

${\displaystyle r-\epsilon <\frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}}$   ･･････(21)

(20)と(21)より

${\displaystyle a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^2<a_{N+2}\cdot \frac{a_{N+3}}{a_{N+2}}}$   ･･････(22)

よって

${\displaystyle a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^2<a_{N+3}}$   ･･････(23)

となる．

                 ${\displaystyle ⋮}$

同様にして

${\displaystyle a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^{k-N-1}<a_k}$   ･･････(24)

となる．

となる．

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=N+1}^M{a}_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^{n-N-1}}$${\displaystyle =a_{N+1}+a_{N+1}\left(r-\epsilon \right)+a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^2+\cdots +a_{N+1}{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N-1}}$

等比数列の和より

${\displaystyle =a_{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}}$  ･･････(26)

(25)に(26)を代入する．

${\displaystyle 1<r-\epsilon <r}$ のとき， ${\displaystyle M\to \infty }$ ならば， ${\displaystyle {\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}\to \infty }$，また，${\displaystyle 1-\left(r-\epsilon \right)<0}$ となるので

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{a}_{N+1}\cdot \frac{1-{\left(r-\epsilon \right)}^{M-N}}{1-\left(r-\epsilon \right)}=\infty }$   ･･････(28)

となり

${\displaystyle \underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=\infty }$  ･･････(29)

となる．

したがって(3)，(4)，(6)，(29)より

${\displaystyle {\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n=K+\underset{M\to \infty }{\lim }{S}_M=\infty }$  ･･････(30)

となり発散する．

　

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最終更新日： 2026年10月6日