( 1+x ) α =1+αx+ α( α−1 ) 2! x 2 + α( α−1 )( α−2 ) 3! x 3 +⋯⋯
f( x )= ( 1+x ) α
f( 0 )= 1 α =1
f ′ ( x )=α⋅ ( 1+x ) α−1 ( 1+x ) ′ =α ( 1+x ) α−1 =α ( 1+x ) α−1
f ′ ( 0 )=α
f ″ ( x )=α( α−1 ) ( 1+x ) a−2 ( 1+x ) ′ =α( α−1 ) ( 1+x ) a−2
f ″ ( 0 )=α( α−1 )
f ‴ ( x )=α( α−1 )( α−2 ) ( 1+x ) a−3 ( 1+x ) ′ =α( α−1 )( α−2 ) ( 1+x ) a−3
f ‴ ( 0 )=α( α−1 )( α−2 )
f ( 4 ) ( x )=α( α−1 )( α−2 )( α−3 ) ( 1+x ) a−4 ( 1+x ) ′ =α( α−1 )( α−2 )( α−3 ) ( 1+x ) a−4 f ( 4 ) ( 0 )=α( α−1 )( α−2 )( α−3 )
f ( 5 ) ( x )=α( α−1 )( α−2 )( α−3 )( α−4 ) ( 1+x ) a−5 ( 1+x ) ′ =α( α−1 )( α−2 )( α−3 )( α−4 ) ( 1+x ) a−5 f ( 5 ) ( 0 )=α( α−1 )( α−2 )( α−3 )( α−4 )
したがって，マクローリン展開の公式
f( x )=f( 0 )+ f ' ( 0 )x+ f '' ( 0 ) 2! x 2 + f ''' ( 0 ) 3! x 3 +⋯⋯ + f ( n ) ( 0 ) n! x n +⋯⋯
に代入して
a n = α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n+1 ) n! , a n+1 = α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n ) ( n+1 )!
lim n → ∞ | a n + 1 a n | = lim n→∞ | α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n ) ( n+1 )! α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n+1 ) n! | = lim n→∞ | n! ( n+1 )! ⋅ α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n ) α( α−1 )( α−2 )⋯( α−n+1 ) | = lim n→∞ | α−n n+1 | = lim n→∞ | α n −1 1+ 1 n | =1
よって，収束半径 R は
R= 1 1 =1
となる．
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最終更新日： 2023年7月27日