等比数列の和
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等比数列の和

初項 a 1 ,公比 r 等比数列 a n = a 1 r n1 の第 n 項までの和は,

  • r1 のとき,

    S n = m=1 n a m = a 1 ( 1 r n ) 1r = a 1 ( r n 1 ) r1

  • r=1 のとき,

    S n = m=1 n a m = a 1 n

となる.

■公式の導出

n 項までの和は,

[ 1 ]r=1 のとき

S n = a 1 + a 1 + a 1 ++ a 1

=n a 1


[ 2 ]r1 のとき

S n = a 1 + a 1 r+ a 1 r 2 + a 1 r 3 ++ a 1 r n1

) r S n = a 1 r+ a 1 r 2 + a 1 r 3 ++ a 1 r n1 + a 1 r n

  ( 1r ) S n = a 1                                                                                a 1 r n       ¯


( 1r ) S n = a 1 ( 1 r n )

S n = a 1 ( 1 r n ) 1r = a 1 ( r n 1 ) r1



よって, [ 1 ],[ 2 ] より,第 n 項までの和は,

  • r1 のとき,

    S n = a 1 ( 1 r n ) 1r = a 1 ( r n 1 ) r1

  • r=1 のとき,

    S n = a 1 n


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最終更新日: 2022年11月19日

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