等差数列の和
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等差数列の和

初項 a 1 ,公差 d 等差数列an = a 1 +( n1 )d の第 n 項までの和は,

S n = m = 1 n a m = n { 2 a 1 + ( n 1 ) d } 2 = n ( a 1 + a n ) 2

となる.

■公式の導出

n 項までの和は,

S n = a 1 + a 2 + a 3 ++ a n1 + a n

= a 1 +( a 1 +d )+( a 1 +2d )++( a n d )+ a n

となる.

和の順序を逆にして辺々を加えると,

S n = a 1 +( a 1 +d )+( a 1 +2d )++( a n d )+ a n

+ ) S n = a n +( a n d )+( a n 2d )++( a 1 +d )+ a 1

      2 S n =( a 1 + a n )+( a 1 + a n )+( a 1 + a n )++( a 1 + a n )+( a 1 + a n ) ¯

2 S n =n( a 1 + a n )

S n = n( a 1 + a n ) 2

また, a n = a 1 +( n1 )d を代入すると,

S n = n{ a 1 + a 1 +( n1 )d } 2 = n{ 2 a 1 +( n1 )d } 2

  

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最終更新日: 2022年11月19日

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