等差数列の和
初項 a 1 ，公差 d
の等差数列an = a 1 +( n−1 )d の第
n 項までの和は，
S
n
=
∑
m
=
1
n
a
m
=
n
{
2
a
1
+
(
n
−
1
)
d
}
2
=
n
(
a
1
+
a
n
)
2
となる．
■公式の導出
第 n 項までの和は，
S
n
=
a
1
+
a
2
+
a
3
+⋯⋯+
a
n−1
+
a
n
=
a
1
+(
a
1
+d
)+(
a
1
+2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
n
−d
)+
a
n
となる．
和の順序を逆にして辺々を加えると，
S
n
=
a
1
+(
a
1
+d
)+(
a
1
+2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
n
−d
)+
a
n
+ )
S
n
=
a
n
+(
a
n
−d
)+(
a
n
−2d
)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(
a
1
+d
)+
a
1
2
S
n
=(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)+⋅⋅⋅+(
a
1
+
a
n
)+(
a
1
+
a
n
)
¯
2
S
n
=n(
a
1
+
a
n
)
S
n
=
n(
a
1
+
a
n
)
2
また，
a
n
=
a
1
+(
n−1
)d
を代入すると，
S
n
=
n{
a
1
+
a
1
+(
n−1
)d
}
2
=
n{
2
a
1
+(
n−1
)d
}
2
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最終更新日：
2022年11月19日
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