漸化式タイプ５：$a_{n+1}=p{a}_n+$($n$を含む式)の$a_n$の求め方

（${\displaystyle n}$ を含む式）を${\displaystyle f\left(n\right)}$ とおく．

■${\displaystyle f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=d}$  　（${\displaystyle d}$ :定数）　となる場合

$\begin{array}{l}\underset{¯}{\begin{array}{cccccc}& a_{n+1}& =& p{a}_n& +& f\left(n\right)\\ -)& \alpha & =& p\alpha & +& f\left(n-1\right)\end{array}}\\ \begin{array}{ccc}{a}_{n+1}-\alpha & =& p\left(a_n-\alpha \right)\end{array}+d\end{array}$

$a_n-\alpha =b_n$ とおくと

$b_{n+1}=p{b}_n+d$  ⇒タイプ3の形になる．$b_n$ 求め方はタイプ3を参照

したがって，

$a_n=b_n-\alpha$

■${\displaystyle f\left(n\right)=rf\left(n-1\right)}$ 　（${\displaystyle r}$ :定数）　となる場合　

両辺を${\displaystyle f\left(n+1\right)}$ 割ると，

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{f(n+1)}=p\frac{a_n}{f\left(n+1\right)}+\frac{f\left(n\right)}{f\left(n+1\right)}}$

${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{f(n+1)}=\frac{p}{r}\frac{a_n}{f\left(n\right)}+\frac{1}{r}}$   $\left(\because f(n+1)=rf(n)\right)$

${\displaystyle \frac{a_n}{f\left(n\right)}=b_n}$ とおくと，

${\displaystyle b_{n+1}=\frac{p}{r}{b}_n+\frac{1}{r}}$ ⇒タイプ3の形になる．$b_n$ 求め方はタイプ3を参照

したがって， 

${\displaystyle a_n=f\left(n\right)b_n}$

■その他の場合

$a_n$ を　具体的に書き出す⇒推定⇒証明　の手順で求める．証明には帰納法を使うとよい．

 

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最終更新日： 2023年7月28日