2つのベクトルが作る平行四辺形の符号付き面積

2つのベクトル ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積は， 平行四辺形の面積に符号を付けたもので， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を回転して ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ に重ねるとき反時計回りになる場合は正，時計回りになる場合は負になる．ただし， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$が平行な場合は，符号付き面積は $0$になる．

■具体事例

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_x,a_y\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_x,b_y\right)}$ のとき，平行四辺形の符号つき面積は

${\displaystyle a_x{b}_y-a_y{b}_x}$

となる．

● ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を回転して ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ に重ねるとき反時計回りになる場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形 $\text{OACB}$ の面積 $S$ を求める(図1の場合) ．

点 $\text{B}$ ， 点 $\text{C}$ の2点を通る直線と $y$ 軸との交点を点 $\text{E}$ とする．平行四辺形 $\text{OACB}$ の面積 $S$ と 平行四辺形 $\text{OADE}$ の面積 ${\displaystyle S^{\prime }}$ は等しい．なぜなら，辺 $\text{OA}$ が共通で，辺 $\text{OA}$ と線分 $\text{EC}$ が平行より辺 $\text{OA}$ を底辺とすると高さが等しくなるからである． 平行四辺形 $\text{OADE}$ の面積 ${\displaystyle S^{\prime }}$ は，辺 $\text{OE}$ を底辺とすと，高さは線分 $\text{OF}$ になり

${\displaystyle S^{\prime }=\frac{a_x{b}_y-a_y{b}_x}{a_x}\times a_x}$ ${\displaystyle =a_x{b}_y-a_y{b}_x}$

となる． ${\displaystyle S=S^{\prime }}$ より

${\displaystyle S=a_x{b}_y-a_y{b}_x>0}$ ･･････(1)

となる

${\displaystyle a_x<0}$ のとき， ${\displaystyle \frac{a_x{b}_y-a_y{b}_x}{a_x}<0}$ となり，(1)は成り立つ．

◇点 $\text{E}$ の座標

点 $\text{B}$ を通り， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ に平行な直線の方程式は

${\displaystyle y-b_y=\frac{a_y}{a_x}\left(x-b_x\right)}$

${\displaystyle y=\frac{a_y}{a_x}x+\frac{a_x{b}_y-a_y{b}_x}{a_x}}$

となる．よって，点 $\text{E}$ の座標は

${\displaystyle \left(0,\frac{a_x{b}_y-a_y{b}_x}{a_x}\right)}$

となる．

● ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ を回転して ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ に重ねるとき時計回りになる場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形 $\text{OACB}$ の面積 $S$ を求める(図2の場合) ．

同様に考えると

${\displaystyle S=-\left(a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)>0}$ ･･････(2)

となる．

${\displaystyle a_x<0}$ のとき， ${\displaystyle \frac{a_x{b}_y-a_y{b}_x}{a_x}>0}$ となり，(2)は成り立つ．

■まとめ

(1)，(2)をまとめると平行四辺形の符号つき面積は

${\displaystyle a_x{b}_y-a_y{b}_x}$

となる．

　

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最終更新日 2026年3月27日