外積の各成分の幾何学的意味

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right)}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right)}$ のとき

となる．

各成分の幾何学的意味について具体的事例を用いて解説する．

■ ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が $xy$ 平面内に存在する場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,0,0\right)}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(0,5,0\right)}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(0\cdot 0-0\cdot 5,0\cdot 0-2\cdot 0,2\cdot 5-0\cdot 0\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,0,10\right)}$

となる．

$z$ 成分の値 $10$ は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形(この場合は長方形)の符号付き面積の値になっている．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,5,0\right)}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(2,1,0\right)}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(5\cdot 0-0\cdot 1,0\cdot 2-1\cdot 0,1\cdot 1-5\cdot 2\right)}$ ${\displaystyle =\left(0,0,-9\right)}$

となる． $z$ 成分の値 $-9$ は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

■ ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が $y$ 軸を含む平面内に存在する場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,0,1\right)}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(0,5,0\right)}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(0\cdot 0-1\cdot 5,1\cdot 0-2\cdot 0,2\cdot 5-0\cdot 0\right)}$ ${\displaystyle =\left(-5,0,10\right)}$

となる．

$x$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $yz$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{yz}}=\left(0,0,1\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{yz}}=\left(0,5,0\right)}$ を2辺とする平行四辺形(この場合は長方形)の符号付き面積の値になっている．

$y$ 成分の値は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $yz$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{yz}}=\left(2,0,1\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{yz}}=\left(0,0,0\right)}$ を2辺とする平行四辺形が形成されないので $0$ になる．

$z$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $xy$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{xy}}=\left(2,0,0\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{xy}}=\left(0,5,0\right)}$ を2辺とする平行四辺形(この場合は長方形)の符号付き面積の値になっている．

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(2,1,1\right)}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(2,6,1\right)}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(1\cdot 1-1\cdot 6,1\cdot 2-2\cdot 1,2\cdot 6-1\cdot 2\right)}$ ${\displaystyle =\left(-5,0,10\right)}$

となる．

$x$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $yz$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{yz}}=\left(0,1,1\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{yz}}=\left(0,6,1\right)}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

$y$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $yz$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{yz}}=\left(2,0,1\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{yz}}=\left(2,0,1\right)}$ が重なり平行四辺形が形成されないので $0$ になる．

$z$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $xy$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{xy}}=\left(2,1,0\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{xy}}=\left(2,6,0\right)}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

■ ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ ， ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ が任意の場合

${\displaystyle \overrightarrow{a}=\left(1,2,2\right)}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle \overrightarrow{b}=\left(3,1,3\right)}}$ のとき

${\displaystyle \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}$ ${\displaystyle =\left(2\cdot 3-2\cdot 1,2\cdot 3-1\cdot 3,1\cdot 1-2\cdot 3\right)}$ ${\displaystyle =\left(4,3,-5\right)}$

となる．

$x$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $yz$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{yz}}=\left(0,2,2\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{yz}}=\left(0,1,3\right)}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

$y$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $zx$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{zx}}=\left(1,0,2\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{zx}}=\left(3,0,3\right)}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

$z$ 成分の値 は， ${\displaystyle \overrightarrow{a}}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b}}$ を $xy$ 平面に正射影したベクトル， ${\displaystyle \overrightarrow{a_{xy}}=\left(1,2,0\right)}$ と ${\displaystyle \overrightarrow{b_{xy}}=\left(3,1,0\right)}$ を2辺とする平行四辺形の符号付き面積の値になっている．

　

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最終更新日 2026年3月27日