線分をｍ：ｎに外分する点の位置ベクトル

点 $\text{R}$ が線分 $\text{PQ}$ を $m:n$ の比に外分（点 $\text{R}$ が線分 $\text{PQ}$ 上以外の直線 $\text{PQ}$ 上にあり $\text{PR}:\text{QR}=m:n$ となる）するとき， ${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$ を${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OP}}=\overrightarrow{p}}$ ，${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OQ}}=\overrightarrow{q}}$ を用いて表すと

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}=\frac{-n}{m-n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{q}}$

となる．

$\overrightarrow{p}$ ， $\overrightarrow{q}$ はそれぞれ点 $\text{P}$ ， $\text{Q}$ の位置ベクトルになる．

■導出

●$m<n$ の場合

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{PR}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}-\frac{m}{n-m}\stackrel{⟶}{\text{PQ}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}-\frac{m}{n-m}\left(\stackrel{⟶}{\text{PO}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}-\frac{m}{n-m}\left(-\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\left(1+\frac{m}{n-m}\right)\stackrel{⟶}{\text{OP}}-\frac{m}{n-m}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{n}{n-m}\stackrel{⟶}{\text{OP}}-\frac{m}{n-m}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{n}{n-m}\overrightarrow{p}-\frac{m}{n-m}\overrightarrow{q}}$

${\displaystyle =\frac{-n}{m-n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{q}}$

●$m>n$ の場合

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}}$${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{PR}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m-n}\stackrel{⟶}{\text{PQ}}}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m-n}\left(\stackrel{⟶}{\text{PO}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m-n}\left(-\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\stackrel{⟶}{\text{OQ}}\right)}$

${\displaystyle =\left(1-\frac{m}{m-n}\right)\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m-n}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{-n}{m-n}\stackrel{⟶}{\text{OP}}+\frac{m}{m-n}\stackrel{⟶}{\text{OQ}}}$

${\displaystyle =\frac{-n}{m-n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{q}}$

●(1)，(2)より

$m<n$，$m>n$とも

${\displaystyle \stackrel{⟶}{\text{OR}}=\frac{-n}{m-n}\overrightarrow{p}+\frac{m}{m-n}\overrightarrow{q}}$

となる．

　

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最終更新日 2024年12月9日