四面体の体積

点 $\text{O}$ ， 点 $\text{A}$ ， 点 $\text{B}$ ， 点 $\text{C}$ ， を頂点とする四面体の体積は

${\displaystyle V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{OB}}\times \overrightarrow{\text{OC}}\right)\right|}$

となる．

■導出

図のような平行六面体を考える.

平行六面体 $\text{OAFC-CEGD}$ の体積 は

${\displaystyle \left|\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{OB}}\times \overrightarrow{\text{OC}}\right)\right|}$

である．

三角柱 $\text{OBC-AFE}$ の体積は，平行六面体 $\text{OAFC-CEGD}$ の体積の ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である．さらに、四面体 $\text{OABC}$ の体積は，三角柱 $\text{OBC-AFE}$ の体積の ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ である(ここを参照)．よって，四面体 $\text{OABC}$ の体積 $V$ は

${\displaystyle V=\frac{1}{6}\left|\overrightarrow{\text{OA}}\cdot \left(\overrightarrow{\text{OB}}\times \overrightarrow{\text{OC}}\right)\right|}$

となる．