演習問題

次の関数を偏微分せよ．

${\displaystyle z={\tan }^{-1}\sqrt{\frac{x}{y}}}$

次の関数について ${\displaystyle f_x\left(1,-2\right)}$ と ${\displaystyle f_y\left(1,-2\right)}$ を求めよ．

${\displaystyle f\left(x,y\right)={\tan }^{-1}\frac{y}{x}}$

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば, ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=f\left(x^2-y^2\right)}$ ならば ${\displaystyle y\frac{\partial z}{\partial x}+x\frac{\partial z}{\partial y}=0}$

である．

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=\frac{1}{x}f\left(\frac{y}{x}\right)}$ ならば ${\displaystyle x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}+z=0}$ である．

次のことを証明せよ．

${\displaystyle z=log\sqrt{x^2+y^2}}$ ならば ${\displaystyle {\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2=\frac{1}{e^{2z}}}$ である．

${\displaystyle z=xf\left(ax+by\right)+yg\left(ax+by\right)}$ ならば

${\displaystyle b^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}-2ab\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}+a^2\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=0}$

であることを示せ．