演習問題

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \sin 3x\sin 5xdx}}$ 　　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle {\displaystyle \int \cos 3x\cos 5xdx}}$ 　　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {sin}^{2}2xdx}$ 　　

次の問題を積分せよ（不定積分）．

${\displaystyle \int {cos}^{2}2xdx}$ 　　

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

${\displaystyle sin{15}^{°}}$

${\displaystyle cos\alpha =\frac{3}{5}}$ ， ${\displaystyle sin\beta =\frac{5}{13}}$ のとき， ${\displaystyle cos\left(\alpha +\beta \right)}$ ， ${\displaystyle tan\left(\alpha +\beta \right)}$ の値を求めよ．ただし， ${\displaystyle 0<\alpha \text{,}\beta <\frac{\pi }{2}}$ とする．

次の関数を ${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし， ${\displaystyle r>0}$ ， ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sin \theta -\cos \theta }$

次の関数を ${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし， ${\displaystyle r>0}$ ， ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sin \theta -\sqrt{3}\cos \theta }$

次の関数を ${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし， ${\displaystyle r>0}$ ， ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$

次式を ${\displaystyle r\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ${\displaystyle \left[r>0,-\pi <\alpha \leqq \pi \right]}$ の形に変形しなさい．

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \theta -\sqrt{2}\cos \theta }$

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y={sin}^{3}4x{cos}^{4}3x}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta =\frac{1}{2}}$ ， ${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =\frac{2}{3}}$ のとき， ${\displaystyle \cos \left(\alpha -\beta \right)}$ の値を求めよ．

${\displaystyle x>0^{°},y>0^{°},z>0^{°}}$ ，かつ， ${\displaystyle x+y+z={180}^{°}}$ で

${\displaystyle \{\begin{array}{l}\sin x\sin y=\cos z\\ \sin x+\sin y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}\sin z+1\end{array}}$

を満たしているとき， ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle y}$ ， ${\displaystyle z}$ を求めよ．

${\displaystyle sin\left(\theta -\frac{\pi }{3}\right)}$を${\displaystyle sin\theta }$ ，${\displaystyle cos\theta }$ を用いて表せ．

${\displaystyle tan\left({180}^{°}+\theta \right)}$ を簡単にせよ．　

加法定理を利用し，以下に示す式の値を求めよ．

${\displaystyle cos{105}^{°}}$

■答

${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}}$

${\displaystyle sin\alpha -cos\beta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$，${\displaystyle \cos \alpha -\sin \beta =\sqrt{2}}$ であるとき${\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta \right)}$ の値を求めよ．