問題を解くのに必要な知識を確認するにはこのグラフ図を利用してください．

三角関数の合成問題

■問題

次の関数を ${\displaystyle r\sin (\theta +\alpha )}$ の形に表せ．ただし， ${\displaystyle r>0}$ ， ${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$ とする．

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$

■解説動画

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■答

${\displaystyle 2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

■ヒント

三角関数の合成公式

${\displaystyle a\sin \theta +b\cos \theta }$ ${\displaystyle =\sqrt{a^2+b^2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$

を利用する．

■解答

${\displaystyle r=\sqrt{a^2+b^2}}$ ${\displaystyle =\sqrt{{\sqrt{6}}^2+{\sqrt{2}}^2}}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}}$

より

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}}\sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\cos \theta \right)}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta \right)}$ ･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成公式より

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)}$ ･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\hfill \\ \sin \alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを解く．

${\displaystyle \cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}}$ より，${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}}$　･･････(4)　(計算はここを参照)

${\displaystyle \sin \alpha =\frac{1}{2}}$ より，${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{6},\frac{5}{6}\pi }$　･･････(5)　(計算はここを参照)

(4)，(5)より

${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{6}}$

となる．したがって

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{6}\sin \theta +\sin \frac{\pi }{6}\cos \theta \right)}$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に， ${\displaystyle \sin }$ の係数 ${\displaystyle 1}$ を ${\displaystyle x}$ 成分， ${\displaystyle \cos }$ の係数 ${\displaystyle -1}$ を ${\displaystyle y}$ 成分とする点 ${\displaystyle \text{P}}$ と原点 ${\displaystyle \text{O}}$ を結ぶ線分 ${\displaystyle \text{OP}}$ を描く．線分 ${\displaystyle \text{OP}}$ の長さが ${\displaystyle r}$ ， 線分 ${\displaystyle \text{OP}}$ と ${\displaystyle x}$ 軸となす角が角度 ${\displaystyle \alpha }$ となる．

よって

${\displaystyle r=2\sqrt{2}}$ ， ${\displaystyle \alpha =\frac{\pi }{6}}$

${\displaystyle \sqrt{6}\sin \theta +\sqrt{2}\cos \theta }$ ${\displaystyle =2\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{6}\right)}$

となる．

■グラフ

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2025年3月12日

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