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応用分野: 三角関数の不等式の解き方三角方程式の解き方加法定理
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三角関数の合成公式

■ sin(正接)での合成

asin θ+bcosθ= a 2 + b 2 sin( θ+α )

ただし,αはsinの係数ax成分,cosの係数by成分とする点Pと原点Oを結ぶ線分OPと x 軸のなす角を一般角で表したものである.

いいかえると, sinα= b a 2 + b 2 , cosα= a a 2 + b 2 を満たす α とする.

通常, 180°<α180° とする.

公式の導出


■ cos(余弦)での合成

asinθ+bcosθ= a 2 + b 2 cos( θβ )  

ただし,βはcosの係数bx成分,sinの係数ay成分とする点Qと原点Oを結ぶ線分OQと x 軸のなす角を一般角で表したものである.

いいかえると, sin β = a a 2 + b 2 cos β = b a 2 + b 2 を満たす β とする.

通常, 180 ° < β 1 8 0 ° とする.

公式の導出


■公式の導出

●sinでの合成:

図より, a>0 b>0 0<θ<90°  の場合,合成公式が導かれる.

次に, a0  あるいは b0  において式を変形して合成の公式を導く.

asinθ+bcosθ  

  • = a 2 + b 2 a a 2 + b 2 sinθ
  • + a 2 + b 2 b a 2 + b 2 cosθ

  • = a 2 + b 2 sinθ· a a 2 + b 2
  • +cosθ· b a 2 + b 2

a a 2 + b 2 =cosα b a 2 + b 2 =sinα とおくと,

= a 2 + b 2 ( sinθcosα+cosθsinα )

  • = a 2 + b 2 sin( θ+α )
  •   ( 加法定理より)

三角関数の合成

●cosでの合成:

図より, a > 0 b > 0 0 < θ < 90 °  の場合,合成公式が導かれる.

次に, a 0  あるいは b 0  において式を変形して合成の公式を導く.

a sinθ+bcosθ  

= bcosθ+asinθ  

  • = a 2 + b 2 b a 2 + b 2 cosθ
  • + a 2 + b 2 a a 2 + b 2 sinθ

  • = a 2 + b 2 cosθ· b a 2 + b 2
  • +sinθ· a a 2 + b 2

b a 2 + b 2 =cosβ a a 2 + b 2 =sinβ とおくと,

= a 2 + b 2 ( cosθcosβ+sinθsinβ )  

  • = a 2 + b 2 cos( θ-β )
  •   ( 加法定理より)

 三角関数の合成

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最終更新日: 2015年4月25日

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