演習問題

次の2重積分を求めよ．その際領域 $D$ の図を描くこと．

$\iint_{D} y^{2} d x d y$ 　　 $(D : x^{2} + y^{2} ≦ 9, x ≧ 0)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} (x^{2} - y^{2}) (x + y) d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} 4 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x^{2} - y^{2}) d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x + y ≦ 2, - 1 ≦ x - y ≦ 2)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} (x^{3} + y^{3}) d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x + y ≦ 1, - 1 ≦ x - 2 y ≦ 2)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} \frac{x - y}{1 + x + y} d x d y$ 　　 $(D : 0 ≦ x + y ≦ 1, 0 ≦ x - y ≦ 1)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} 64 x y d x d y$ 　　 $(D : 1 ≦ x + y ≦ 2, - 2 ≦ x - 3 y ≦ 0)$

次の重積分の値を求めよ．

$\iint_{D} \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} d x d y$ 　　 $(D : x^{2} + y^{2} ≦ a x)$

適当な変数変換を行って次の重積分を計算せよ．

$\iint_{D} (x^{2} + y^{2}) e^{- x - y} d x d y$ 　　 $(D : - 2 < x + y < 2, - 2 < x - y < 2)$