概念問題 解答

微積分学　積分

問題3の解答

図1のグラフを表す関数は

$y=ax$ 　･･････(1)

ただし， $a<0$

(1)を不定積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int ydx}={\displaystyle \int axdx}}$${\displaystyle =\frac{1}{2}a{x}^2+C}$

不定積分して得られた関数は2次関数になる． $x^2$ の係数は ${\displaystyle \frac{1}{2}a}$ で負の値である．よって，グラフは上に凸になる．また， $C$ は不定積分で，いろいろな値をとることができる．上に凸で，$y$軸に平行移動したグラフが複数あるグラフが正解となる．

以上より，答えは3となる．

■別解

不定積分になるので，グラフは無数に存在することになる．図1のグラフの傾きは負の値で一定になっているので， $x$ の増加とともに接線の傾きが減少しているものを選べはよい．

以上より，答えは3となる．