概念問題 解答

微積分学　極限

問題1の解答

関数$y=\left|x\right|$に関して，$x=0$における関数の連続性と微分可能性について調べる．

${\displaystyle y=\left|x\right|=\left\{\begin{array}{cc}x& \left(x\geqq 0\right)\\ -x& \left(x<0\right)\end{array}\right.}$

より，$x\ge 0$と$x<0$に分けて考えるとよい．

●連続性について

${\displaystyle \underset{x\to +0}{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to +0}{\lim }x=0}$

${\displaystyle \underset{x\to -0}{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to -0}{\lim }\left(-x\right)=0}$

となる．よって

${\displaystyle \underset{x\to +0}{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to -0}{\lim }\left|x\right|}$

となり右側極限と左側極限が等しくなり，${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\left|x\right|}$は存在し

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\left|x\right|=0}$　･･････(3)

となる．一方

${\displaystyle \left|0\right|=0}$　･･････(4)

である．(3)，(4)より，(1)が成り立っている．したがって，関数$y=\left|x\right|$は$x=0$において連続である．

●微分可能性について

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}=\frac{h}{h}=1}$

${\displaystyle \underset{h\to -0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}=\frac{-h}{h}=-1}$

となる．よって

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}\ne \underset{h\to -0}{\lim }\frac{\left|0+h\right|-\left|0\right|}{h}}$

となり右側極限と左側極限が異なるため，${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\left|x\right|}$は存在しない．

したがって，関数$y=\left|x\right|$は$x=0$において微分可能でない．

以上より，答えは2となる．

簡単に説明すると，関数$y=\left|x\right|$は$x=0$で，グラフが繋がっているので連続であるが，接線の傾きが定まらないので，微分可能でない．