概念問題 解答

微積分学　極限

問題3の解答

${\displaystyle y=f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}0& \left(x<0\right)\\ 1& \left(x\ge 0\right)\end{array}\right.}$

より

I．右側極限

${\displaystyle \underset{x\to +0}{\lim }f\left(x\right)=1}$

である．

II．左側極限

${\displaystyle \underset{x\to -0}{\lim }f\left(x\right)=0}$

III．微分可能性について

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to +0}{\lim }\frac{1-1}{h}=0}$　･･････(4)

${\displaystyle \underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to -0}{\lim }\frac{1-0}{h}=\infty }$ 　･･････(5)

(4)，(5)より

${\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\underset{h\to +0}{\ne \lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}}$

となり，$x=0$ の右側と左側で微分係数が一致しないため，(3)が成り立たず，$x=0$で微分可能でない．

以上より，答えは2となる．