概念問題 解答

微積分学　極限

問題5の解答

時刻$t=0$のとき，アキレスは$x$ 軸上の原点におり，カメは$x=L_1>0$ の位置にいたとする．ただし，アキレスの移動速度を$V$，亀の移動速度を$v$とし， $V>0$， $v>0$，$V-v>0$である．

アキレスが，距離${\displaystyle l_1}$移動するのに要した時間を$t_1$ とすると

${\displaystyle t_1=\frac{l_1}{V}}$

時間$t_1$の間に亀が移動した距離 $l_2$ は

${\displaystyle l_2=v{t}_1=v\frac{l_1}{V}=l_1\frac{v}{V}}$

となる．

次に，アキレスが$l_2$移動するのに要する時間$t_2$と$t_2$の間に亀が移動した距離$l_3$は，同様に考えると

${\displaystyle t_2=\frac{l_2}{V}=\frac{l_1\frac{v}{V}}{V}=\frac{l_1}{V}\cdot \frac{v}{V}}$

${\displaystyle l_3=v{t}_2=v\frac{l_1}{V}\cdot \frac{v}{V}=l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}$

次に，アキレスが$l_3$移動するのに要する時間$t_3$と$t_3$の間に亀が移動した距離$l_4$は，同様に考えると

${\displaystyle t_3=\frac{l_3}{V}=\frac{l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}{V}=\frac{l_1}{V}{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}$

${\displaystyle l_4=v{t}_3=v\frac{l_1}{V}{\left(\frac{v}{V}\right)}^2=l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^3}$

となる.

時刻$T_3=t_1+t_2+t_3$のときのアキレスの位置を$L_3$，亀の位置を$D_3$ とすると

${\displaystyle T_3=t_1+t_2+t_3}$${\displaystyle =\frac{l_1}{V}+\frac{l_1}{V}\cdot \frac{v}{V}+\frac{l_1}{V}{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}$

${\displaystyle L_3=l_1+l_2+l_3}$${\displaystyle =l_1+l_1\frac{v}{V}+l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^2}$

${\displaystyle D_3=L_3+l_3}$${\displaystyle =l_1+l_1\frac{v}{V}+l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^2+l_1{\left(\frac{v}{V}\right)}^3}$

となる．

時刻$T_3$は，初項が${\displaystyle \frac{l_1}{V}}$ ，公比が${\displaystyle \frac{v}{V}}$の等比数列の初項から第3項までの和になっている．また， $L_3$は，初項が$l_1$，公比が${\displaystyle \frac{v}{V}}$ の等比数列の初項から第3項までの和になっている． $D_3$は，初項が$l_1$，公比が${\displaystyle \frac{v}{V}}$ の等比数列の初項から第4項までの和になっている．

時刻${\displaystyle T_n=\frac{\frac{l_1}{V}\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^n\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$ におけるアキレスの位置$L_n$，亀の位置$D_n$は

${\displaystyle L_n=\frac{l_1\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^n\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$

${\displaystyle D_n=\frac{l_1\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^{n+1}\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$

となる．

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{T}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{l_1}{V}\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^n\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$${\displaystyle =\frac{\frac{l_1}{V}}{1-\frac{v}{V}}}$${\displaystyle =\frac{l_1}{V-v}}$

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{l_1\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^n\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$${\displaystyle =\frac{l_1}{1-\frac{v}{V}}}$${\displaystyle =\frac{l_{1}V}{V-v}}$

${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }{D}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{l_1\left\{1-{\left(\frac{v}{V}\right)}^{n+1}\right\}}{1-\frac{v}{V}}}$ ${\displaystyle =\frac{l_1}{1-\frac{v}{V}}}$${\displaystyle =\frac{l_{1}V}{V-v}}$

∵${\displaystyle \frac{v}{V}<}$ より，${\displaystyle 1\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{v}{V}\right)}^n=0}$

以上より，亀に追いつく時間は，${\displaystyle \frac{l_1}{V-v}}$ ，追いつく位置は，${\displaystyle \frac{l_{1}V}{V-v}}$ となる．したがって，答えは4となる．