概念問題 解答

線形代数　一次独立と一次従属

問題2の解答

$c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ c_2\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3c_3\\ 4c_3\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}{c}_1& 0& 3c_3\\ 0& c_2& 4c_3\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=0$ (3行目の成分がすべて0なので行列式の値は0になる)

よって，$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$の逆行列が存在せず（1次独立であるための必要十分条件を満たさないので）， $c_1=c_2=c_3=0$以外の解を持つ．したがって

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}3\\ 4\\ 0\end{array}\right)$

は1次従属である．

n 個の n 次元列ベクトルが1次従属であるための必要十分条件も参考にすること．