概念問題 解答

線形代数　一次独立と一次従属

問題5の解答

一対一に対応しているので逆変換は存在する

具体的に考える．

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$

に変換されている．よって，1次変換は

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

と表される．この1次変換の表現行列は

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$

である．表現行列の行列式の値は

$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|=4-1=3$

となり,0でない．よって，表現行列の逆行列が存在する．

逆変換は

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$${\displaystyle =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)}$

となる．