概念問題 解答

線形代数　一次独立と一次従属

問題6の解答

多対一の対応になているので逆変換は存在しない

具体的に考える．

1次変換の表現行列を

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

とする．

$\text{A}\to {\text{A}}^{\prime }$の変換は

$\left(\begin{array}{c}6\\ 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)$　･･････(1)

$\text{C}\to {\text{C}}^{\prime }$の変換は

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2\\ \mathrm{o}\end{array}\right)$　･･････(2)

と表される．

(1)より

$6=2a+2b$　･･････(3)

$6=2c+2d$　･･････(4)

(2)より

$4=2a$　･･････(5)

$4=2c$　･･････(6)

が得られる．(3)，(4)，(5)，(6)より

$a=2$，$b=1$，$c=2$，$d=1$

よって，1次変換の表現行列は

$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$

となる．

表現行列の行列式の値は

$\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right|=2-2=0$

と0となり，逆行列は存在しない．よって，逆変換は存在しない．