概念問題 解答

線形代数　行列

問題11の解答

$z - y$ 平面上で $θ$ だけ回転する１次変換 $f$ の表現行列を $R (θ)$ で表すことにする.

図は $x$ 軸の正方向から $z - y$ 平面を眺めたものである.

$i$ ， $j$ ， $k$ をそれぞれ $x$ 軸， $y$ 軸， $z$ 軸の基本ベクトルとする.

$i = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $j = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$ ， $k = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$

$y + z = 0$

また

$a = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{_{y}} \\ a_{z} \end{matrix})$

とする．

$a$ ， $i$ ， $j$ ， $k$ を $θ$ 回転させたものは，それぞれ

$R (θ) a$ ， $R (θ) i$ ， $R (θ) j$ ， $R (θ) k$

となる．

$R (θ) a = R (θ) (a_{x} i + a_{y} j + a_{z} k)$

行列の計算の分配則，積の性質より

$= a_{x} R (θ) i + a_{y} R (θ) j + a_{z} R (θ) k$

$x$ 成分は変化がないことに注意し，図を参考にすると， $R (θ) i$ ， $R (θ) j$ ， $R (θ) k$ は以下のようになる．

$R (θ) i = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ ， $R (θ) j = (\begin{matrix} 0 \\ \cos θ \\ \sin θ \end{matrix})$ ， $R (θ) k = (\begin{matrix} 0 \\ - \sin θ \\ \cos θ \end{matrix})$

$= a_{x} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + a_{y} (\begin{matrix} 0 \\ \cos θ \\ \sin θ \end{matrix}) + a_{z} (\begin{matrix} 0 \\ - \sin θ \\ \cos θ \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} 1 \cdot a_{x} \\ 0 \cdot a_{x} \\ 0 \cdot a_{x} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \cdot a_{y} \\ \cos θ \cdot a_{y} \\ \sin θ \cdot a_{y} \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \cdot a_{z} \\ - \sin θ \cdot a_{z} \\ \cos θ \cdot a_{z} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} 1 \cdot a_{x} + 0 \cdot a_{y} + 0 \cdot a_{z} \\ 0 \cdot a_{x} + \cos θ \cdot a_{y} - \sin θ \cdot a_{z} \\ 0 \cdot a_{x} + \sin θ \cdot a_{y} + \cos θ \cdot a_{z} \end{matrix})$

$= (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & - \sin θ \\ 0 & \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$

よって，表現行列は

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos θ & - \sin θ \\ 0 & \sin θ & \cos θ \end{matrix})$

となる．

したがって，答は1である．

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