A が l×m 行列, B が m×n 行列ならば
( αA )B=α( AB )=A( αB )
A=( a 11 a 12 ⋯ a 1m a 21 a 22 ⋯ a 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a l1 a l2 ⋯ a lm ) , B=( b 11 b 12 ⋯ b 1n b 21 b 22 ⋯ b 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m1 b m2 ⋯ b mn )
とし,
αA=( α a 11 α a 12 ⋯ α a 1m α a 21 α a 22 ⋯ α a 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α a l1 α a l2 ⋯ α a lm ) =( a ′ 11 a ′ 12 ⋯ a ′ 1m a ′ 21 a ′ 22 ⋯ a ′ 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ′ l1 a ′ l2 ⋯ a ′ lm )
αB=( α b 11 α b 12 ⋯ α b 1n α b 21 α b 22 ⋯ α b 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ α b m1 α b m2 ⋯ α b mn ) =( b ′ 11 b ′ 12 ⋯ b ′ 1n b ′ 21 b ′ 22 ⋯ b ′ 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b ′ m1 b ′ m2 ⋯ b ′ mn )
とする.(行列のスカラー倍を参照)
( αA )B=( a ′ 11 a ′ 12 ⋯ a ′ 1m a ′ 21 a ′ 22 ⋯ a ′ 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a ′ l1 a ′ l2 ⋯ a ′ lm )( b 11 b 12 ⋯ b 1n b 21 b 22 ⋯ b 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m1 b m2 ⋯ b mn )
( αA )B の ( i,j ) 成分 c ij は,行列の積の定義より
c ij = ∑ k=1 m a ′ ik b kj = ∑ k=1 m ( α a ik ) b kj =α ∑ k=1 m a ik b kj ……(1)
α( AB ) の ( i,j ) 成分 d ij は,行列の積の定義より
d ij =α ∑ k=1 m a ik b kj ……(2)
A( αB )=( a 11 a 12 ⋯ a 1m a 21 a 22 ⋯ a 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a l1 a l2 ⋯ a lm )( b ′ 11 b ′ 12 ⋯ b ′ 1n b ′ 21 b ′ 22 ⋯ b ′ 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b ′ m1 b ′ m2 ⋯ b ′ mn )
A( αB ) の ( i,j ) 成分 e ij は,行列の積の定義より
e ij = ∑ k=1 m a ik b ′ kj = ∑ k=1 m a ik ( α b kj ) =α ∑ k=1 m a ik b kj ……(3)
( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) より
c ij = d ij = e ij
となり
が成り立つ.
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最終更新日: 2022年8月27日