行列の計算則 積について(1)

行列の計算則   積について(1)

A l×m 行列, B m×n 行列ならば

( αA )B=α( AB )=A( αB )

■証明

A=( a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a l1 a l2 a lm ) B=( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn )

とし,

αA=( α a 11 α a 12 α a 1m α a 21 α a 22 α a 2m α a l1 α a l2 α a lm ) =( a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a l1 a l2 a lm )

αB=( α b 11 α b 12 α b 1n α b 21 α b 22 α b 2n α b m1 α b m2 α b mn ) =( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn )

とする.(行列のスカラー倍を参照)

( αA )B=( a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a l1 a l2 a lm )( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn )

( αA )B ( i,j ) 成分 c ij は,行列の積の定義より

c ij = k=1 m a ik b kj = k=1 m ( α a ik ) b kj =α k=1 m a ik b kj ……(1)

α( AB ) ( i,j ) 成分 d ij は,行列の積の定義より

d ij =α k=1 m a ik b kj ……(2)

A( αB )=( a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a l1 a l2 a lm )( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn )

A( αB ) ( i,j ) 成分 e ij は,行列の積の定義より

e ij = k=1 m a ik b kj = k=1 m a ik ( α b kj ) =α k=1 m a ik b kj ……(3)

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) より

c ij = d ij = e ij

となり

( αA )B=α( AB )=A( αB )

が成り立つ.

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最終更新日: 2022年8月27日