A が l×m 行列, Bと C が m×n 行列ならば
A( B+C )=AB+AC
A=( a 11 a 12 ⋯ a 1m a 21 a 22 ⋯ a 2m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a l1 a l2 ⋯ a lm ) , B=( b 11 b 12 ⋯ b 1n b 21 b 22 ⋯ b 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b m1 b m2 ⋯ b mn ) , C=( c 11 c 12 ⋯ c 1n c 21 c 22 ⋯ c 2n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c m1 c m2 ⋯ c mn )
とし,
B+C=D=( d ij ) , d ij = b ij + c ij
とする.
A( B+C ) の ( i,j ) 成分 e ij は,行列の積の定義より
e ij = ∑ k=1 m a ik d kj
= ∑ k=1 m a ik ( b kj + c kj )
= ∑ k=1 m ( a ik b kj + a ik c kj )
= ∑ k=1 m a ik b kj + ∑ k=1 m a ik c kj
となる.
∑ k=1 m a ik b kj は AB の ( i,j ) 成分, ∑ k=1 m a ik c kj は AC の ( i,j ) 成分である.
したがって,行列の和の定義より
が成り立つ.
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最終更新日: 2022年8月27日