行列の計算則 分配則について(1)

行列の計算則   分配則について(1)

A l×m 行列, B C m×n 行列ならば

A( B+C )=AB+AC

■証明

A=( a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a l1 a l2 a lm ) B=( b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn ) C=( c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n c m1 c m2 c mn )

とし,

B+C=D=( d ij ) d ij = b ij + c ij

とする.

A( B+C ) ( i,j ) 成分 e ij は,行列の積の定義より

e ij = k=1 m a ik d kj

= k=1 m a ik ( b kj + c kj )

= k=1 m ( a ik b kj + a ik c kj )

= k=1 m a ik b kj + k=1 m a ik c kj

となる.

k=1 m a ik b kj AB ( i,j ) 成分, k=1 m a ik c kj AC ( i,j ) 成分である.

したがって,行列の和の定義より

A( B+C )=AB+AC

が成り立つ.

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最終更新日: 2022年8月27日