梁の曲率と曲げモーメントの関係

ヤング率が E 断面2次モーメント I である梁において,梁の曲率 d 2 Y d x 2 曲げモーメント M との間には

M=EI d 2 Y d x 2

で表される関係が成り立つ.

■導出

梁がたわみ,梁の中心線が Y= Y ( x ) という関数で表されるとき Y( x ) と曲率半径 R との間には ⇒ここを参照

梁が下に凸に変形した場合

1 R = d 2 Y d x 2  ・・・・・・(1)

上に凸に変形した場合

1 R = d 2 Y d x 2  ・・・・・・(2)

で表される.

ヤング率が E ,断面2次モーメントが I である梁において,梁の曲率半径が R のとき曲げモーメントは

M= EI R  ・・・・・・(3) ここを参照

(1),(2)を(3)にそのまま代入すると

梁が下に凸にたわむ ( d 2 Y d x 2 >0 ) 場合

M=EI d 2 Y d x 2 >0  ・・・・・・(4) 

梁が上に凸にたわむ ( d 2 Y d x 2 <0 ) 場合

M=EI d 2 Y d x 2 >0  ・・・・・・(5) 

となる.曲げモーメント M は下に凸にたわんでいる場合は M>0 ,上に凸にたわんでいる場合は M<0 と定義されているので,(5)ではたわみ曲線の微分方程式の符号が逆になる. M の符号をあわせるために,(5)の右辺に-1を掛けること,(4)と一致する.よって,梁が上に凸にたわむ場合も下に凸にたわむ場合も

M=EI d 2 Y d x 2  

となる.

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最終更新日2017年5月30日