梁の曲率と曲げモーメントの関係

ヤング率が E ，断面2次モーメントが I である梁において，梁の曲率 d 2 Y d x 2 と曲げモーメント M との間には

M=EI d 2 Y d x 2

で表される関係が成り立つ．

■導出

梁がたわみ，梁の中心線が Y= Y ( x ) という関数で表されるとき Y( x ) と曲率半径 R との間には　⇒ここを参照

梁が下に凸に変形した場合

1 R = d 2 Y d x 2 　･･････(1)

上に凸に変形した場合

1 R =− d 2 Y d x 2 　･･････(2)

で表される．

ヤング率が E ，断面2次モーメントが I である梁において，梁の曲率半径が R のとき曲げモーメントは

M= EI R 　･･････(3)　⇒ここを参照

(1)，(2)を(3)にそのまま代入すると

梁が下に凸にたわむ ( d 2 Y d x 2 >0 ) 場合

M=EI d 2 Y d x 2 >0 　･･････(4)　

梁が上に凸にたわむ ( d 2 Y d x 2 <0 ) 場合

M=−EI d 2 Y d x 2 >0 　･･････(5)　

となる．曲げモーメント M は下に凸にたわんでいる場合は M>0 ，上に凸にたわんでいる場合は M<0 と定義されているので，(5)ではたわみ曲線の微分方程式の符号が逆になる． M の符号をあわせるために，(5)の右辺に-1を掛けること，(4)と一致する．よって，梁が上に凸にたわむ場合も下に凸にたわむ場合も

M=EI d 2 Y d x 2 　

となる．

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最終更新日2017年5月30日