加法定理の証明
単位円上に点
P,Q
がある。
OP
と
x
軸のなす角を
α
，
OQ
と
x
軸のなす角を
β
とする。(下図)
三角形
OPQ
を考え，余弦定理より，
PQ
2
=
OP
2
+
OQ
2
−
2OP⋅OQcos(
α−β
)
=
1
2
+
1
2
−2⋅1⋅1⋅cos(
α−β
)
=2−2cos(
α−β
)
･･･(1)
線分
PQ
の長さを点
P
，点
Q
の座標成分を用いて表すと，
PQ
2
=
(
cosβ−cosα
)
2
+
(
sinβ−sinα
)
2
=
cos
2
β−2+
cos
2
α+
sin
2
β−2+
sin
2
α
|
=2−2(
sinαsinβ+
cosαcosβ
)
| ･･･(2) |
(1)，(2)より，
2−2cos(
α−β
)=
2−2(
cosαcosβ+sinαsinβ
)
よって，
cos(
α−β
)=
cosαcosβ+sinαsinβ
･･･(3)
(3)を用いて他の加法定理の公式を導くことができる。
|
cos(
α+β
)
| ⇒ |
|
|
sin(
α+β
)
| ⇒ |
|
|
sin(
α-β
)
| ⇒ |
|
|
tan(
α+β
)
| ⇒ |
|
|
tan(
α-β
)
| ⇒ |
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