点電荷 (point charge)

電気量 ${\displaystyle q}$ の点電荷が位置 ${\displaystyle {\mathit{r}}_0}$ に存在するとき，デルタ関数 ${\displaystyle \delta (\mathit{r})}$ を用いて点電荷の電荷密度 ${\displaystyle \rho (\mathit{r})}$ を

${\displaystyle \rho (\mathit{r})=q\delta (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)}$      ······ (1)

と表せる．現実の物体では電荷は空間に連続的に分布しており，その電荷密度を ${\displaystyle \rho (\mathit{r})}$ とすると，空間内の領域 ${\displaystyle V}$ に存在する電気量の総量 ${\displaystyle Q}$ は

${\displaystyle Q={\iiint }_V\rho (\mathit{r})d^3\mathit{r}}$

のように積分により表される．ここで， ${\displaystyle d^{3}r=dxdydz}$ である．点電荷の電荷密度を式(1)で表現することにより，連続分布と同様に積分による表式

${\displaystyle {\iiint }_D\rho (\mathit{r})d^3\mathit{r}}$ ${\displaystyle ={\iiint }_{D}q\delta (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)d^3\mathit{r}}$ ${\displaystyle =q}$

で，点電荷の電気量 ${\displaystyle q}$ を表すことができる．領域 ${\displaystyle D}$ は位置 ${\displaystyle \mathit{r}={\mathit{r}}_0}$ を含む領域である．

電場 ${\displaystyle E\left(r\right)}$ について， ガウスの法則

${\displaystyle \text{div}E=\frac{\rho \left(r\right)}{\epsilon }}$

に式(1)を適用すると

${\displaystyle {\iiint }_D\text{div}E{d}^3\mathit{r}}$ ${\displaystyle ={\iiint }_D\frac{q\delta (\mathit{r}-{\mathit{r}}_0)}{\epsilon }{d}^3\mathit{r}}$ ${\displaystyle =\frac{q}{\epsilon }}$

が得られる．