1つの点電荷と任意の閉曲面の場合のガウスの法則

[1つの点電荷 ${\displaystyle Q}$ と任意の閉曲面 ${\displaystyle S}$ の場合]

点電荷が ${\displaystyle S}$ の外側にあるときは，電場ベクトルは ${\displaystyle S}$ と偶数回交わる．�Aの議論を用いると，点電荷から見た同一立体角 ${\displaystyle d\Omega }$ 内の ${\displaystyle S}$ の微小面積からの寄与をすべて加えるとゼロになることが分かる．したがって，�Aの場合と同様に，

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E}\cdot dS=0}$

となる．

一方，点電荷が ${\displaystyle S}$ の内側にあるときは，電場ベクトルは ${\displaystyle S}$ と奇数回交わる．ここでも�Aの議論を用いると， 電場ベクトルが ${\displaystyle S}$ の外側から内側へ入るときと，内側から外側へ出ていくときの2回分の交差を考えた場合，同一立体角 ${\displaystyle d\Omega }$ 内のそれらの面積分への寄与はゼロになる．したがって，奇数回の交差のうち打ち消されることなく残るのは， ${\displaystyle S}$ の内側から外側へ電場ベクトルが通る1回分の寄与のみとなる．このことと�@の議論から，

${\displaystyle {\displaystyle {\oint }_{S}E\cdot dS=}\frac{Q}{{\epsilon }_0}}$

となることが分かる．

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学生スタッフ作成

2024年3月11日