点電荷が閉曲面の外側にある場合のガウスの法則

閉曲面 $S$ 上で，点電荷 $Q$ から見た同一立体角 $d Ω_{i}$ 内にある微小面積 $d S_{i}$ と $d S_{i}^{'}$ を考える．①で行った議論と同様に， $d S_{i}$ の領域について(1)式の左辺の面積分への寄与を考えると，

$E (r_{i}) \cdot n (r_{i}) d S_{i} = | E (r_{i}) | \cos α_{i} d S_{i}$

$= \frac{Q}{4 π ε_{0}} \frac{\cos α_{i}}{r_{i}^{2}} d S_{i}$

$= \frac{Q}{4 π ε_{0}} d Ω_{i}$

である． $d S_{i}^{'}$ についても同様に考えると，

$E (r_{i}^{'}) \cdot n (r_{i}^{'}) d S_{i}^{'} = | E (r_{i}^{'}) | \cos α_{i}^{'} d S_{i}^{'}$

$= \frac{Q}{4 π ε_{0}} \frac{\cos {α_{i}}^{'}}{{r^{'}}_{i}^{2}} d S_{i}^{'}$

である．ここで， $E ({r_{i}}^{'})$ と ${r_{i}}^{'}$ の方向に注意して①の議論を用いると， $\cos (π - {α_{i}}^{'}) d S_{i}^{'} = {r_{i}}^{'}^{2} d Ω_{i}$ が得られる．これを上の式に用いると，

$E (r_{i}^{'}) \cdot n (r_{i}^{'}) d S_{i}^{'} = - \frac{Q}{4 π ε_{0}} d Ω_{i}$

したがって，

$E (r_{i}) \cdot n (r_{i}) d S_{i} + E (r_{i}^{'}) \cdot n (r_{i}^{'}) d S_{i}^{'} = 0$

となり，同一立体角 $d Ω_{i}$ 内の2つの微小領域からの寄与が打ち消しあうことが分かる．すべての微小立体角について同様に和を取り，分割数が大きい極限を考えれば，

$\oint_{S} E (r) \cdot d S = 0$

となるので，(1)式が成り立つ．

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学生スタッフ作成

2024年3月11日