静電場の回転： $rot E (r) = 0$ (Curl of an electrostatic field)

静電場 $E (r)$ について，

$rot E (r) = 0$ ･･････(1)

が成り立つことを示す．まず，位置

r^{'}

にある1つの点電荷

q

が位置

r

に作る電場

$E (r) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q}{{| r - r^{'} |}^{3}} (r - r^{'})$ ･･････(2)

について考える．

$rot E = (\frac{\partial E_{y}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial y}, \frac{\partial E_{z}}{\partial x} - \frac{\partial E_{x}}{\partial z}, \frac{\partial E_{x}}{\partial y} - \frac{\partial E_{y}}{\partial x})$ ･･････(3)

において， $x$ 成分は(2)式から，

$\frac{\partial E_{y}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial y}$ $= \frac{q}{4 π ε_{0}} [(y - y^{'}) (\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{{| r - r^{'} |}^{3}}) - (z - z^{'}) (\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{{| r - r^{'} |}^{3}})]$ ･･････(4)

となる．(4)式において，

$\frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{{| r - r^{'} |}^{3}}$ $= \frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{{({(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ $= - \frac{3 (z - z^{'})}{{({(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2})}^{\frac{5}{2}}}$ $= - \frac{3 (z - z^{'})}{{| r - r^{'} |}^{5}}$

および同様な計算から得られる

$\frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{{| r - r^{'} |}^{3}} = - \frac{3 (y - y^{'})}{{| r - r^{'} |}^{5}}$

を用いると，

$\frac{\partial E_{y}}{\partial z} - \frac{\partial E_{z}}{\partial y}$ $= \frac{q}{4 π ε_{0}} [- 3 \frac{(y - y^{'}) (z - z^{'})}{{| r - r^{'} |}^{5}} + 3 \frac{(y - y^{'}) (z - z^{'})}{{| r - r^{'} |}^{5}}]$ $= 0$

となる．(3)式の $y$ ， $z$ 成分も同様に計算すれば， $rot E = 0$ が得られる．さらに，複数の電荷による電場や連続的な電荷分布による電場が(2)式の重ね合わせで得られることを考えると，一般の静電場について(1)式が成り立つことが分かる．

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学生スタッフ作成

2026年4月28日

静電場の回転： rotE( r )=0 (Curl of an electrostatic field)

静電場の回転： $rot E (r) = 0$ (Curl of an electrostatic field)