ベクトルポテンシャル(Vector potential)

定常電流による磁場は，ビオ・サバールの法則で与えられる．この磁場ベクトルを $B (r)$ とすると，

$B (r) = \nabla_{r} \times A (r)$ ･･････(1)

の形に書くことができ，(1)式の $A (r)$ をベクトルポテンシャルと呼ぶ．ここで， $r = (x, y, z)$ ， $\nabla_{r} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$ であり， $\nabla_{r}$ の添え字はこの微分演算子がベクトル $r$ にのみ作用することを明示している．(1)式を示すために，まず，

$\nabla_{r} \frac{1}{|r - r^{'}|} = - \frac{r - r^{'}}{{|r - r^{'}|}^{3}}$ ･･････(2) を示す．ここで， $r^{'} = (x^{'}, y^{'}, z^{'}) \neq r$ とする．

(2)式の $x$ 成分を計算すると，

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{|r - r^{'}|}$ $= \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}}}$ $= \frac{\partial}{\partial x} {\{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}\}}^{- \frac{1}{2}}$ $= - {\{{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}\}}^{- \frac{3}{2}} \times (x - x^{'})$ $= - \frac{x - x^{'}}{{[{(x - x^{'})}^{2} + {(y - y^{'})}^{2} + {(z - z^{'})}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}$ $= - \frac{x - x^{'}}{{|r - r^{'}|}^{3}}$ ･･････(3)

$y$ ， $z$ 成分も同様にすれば， $\hat{x}$ ， $\hat{y}$ ， $\hat{z}$ を各方向の単位ベクトルとして，

$\nabla_{r} \frac{1}{|r - r^{'}|}$ $= (\hat{x} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{y} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{z} \frac{\partial}{\partial z}) \frac{1}{|r - r^{'}|}$ $= - \frac{1}{{|r - r^{'}|}^{3}} \{\hat{x} (x - x^{'}) + \hat{y} (y - y^{'}) + \hat{z} (z - z^{'})\}$ $= - \frac{r - r^{'}}{{|r - r^{'}|}^{3}}$ ･･････(4)

となり，(2)式が成り立つことが分かる．この関係をビオ・サバールの法則の(4)式に用いると，

$B (r)$ $= \frac{μ_{0}}{4 π} \int d V^{'} \frac{i (r^{'}) \times (r - r^{'})}{{|r - r^{'}|}^{3}}$ $= \frac{μ_{0}}{4 π} \int d V^{'} i (r^{'}) \times (- \nabla_{r} \frac{1}{|r - r^{'}|})$ ･･････(5)

ここで， $i (r^{'})$ は電流密度であり， $d V^{'}$ は $r^{'}$ に関する微小体積要素である．(5)式において積分と $\nabla_{r}$ の順序を入れ替えて，外積の性質 $i (r^{'}) \times \nabla_{r} = - \nabla_{r} \times i (r^{'})$ に注意すれば，

$B (r) = \nabla_{r} \times [\frac{μ_{0}}{4 π} \int d V^{'} \frac{i (r^{'})}{|r - r^{'}|}]$ ･･････(6)

が得られる．したがって，

$A (r) = \frac{μ_{0}}{4 π} \int d V^{'} \frac{i (r^{'})}{|r - r^{'}|}$ ･･････(7)

とすることで，(1)式の形に書けることが分かる．線状の電流を考える場合は，ビオ・サバールの法則の(3)式に対して同様にすれば，

$A (r) = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int \frac{d r^{'}}{|r - r^{'}|}$ ･･････(8)

が得られる．

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2026年1月14日