オイラー・ラグランジュ方程式 (Euler - Lagrange equation) の例 : 単振り子
単振り子の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式から導出することを考える.
鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した長さ
l
の棒の先端に質量
m
の質点を取り付けた単振り子について,棒が鉛直線となす角を
θ
とする.点 O を原点として,鉛直面内の鉛直下向きに
x
軸,水平方向に
y
軸をとると,質点 P の座標は
r
=
(x
,
y)
=
(
lcosθ
,
lsinθ
)
- - - (1)
と表せるが,棒が質点に作用する力
S
を束縛力として,質点の運動は半径
l
の円周上に束縛されているので,質点の位置は
θ
のみで指定できる(自由度は1).したがって,一般化座標として
θ
をとると都合がよい.質点の速度は円の接線方向を向き,その成分は
vt=
ddt
(lθ)
=l
θ˙
- - - (2)
と表されるので,質点の運動エネルギー
T
は
T=
12m
vt2
=12m
l2
θ˙2
- - - (3)
である.これは,式 (1) から
vt2
=
x˙2
+
y˙2
=
(
−lsinθ
θ˙
)
2
+
(
lcosθ
θ˙
)
2
=l2
(
sin2θ
+
cos2θ
)
θ˙2
=l2
θ˙2
として求めても同じである.一方,重力による質点の位置エネルギー
U
は,
θ
=
0
のときの最下点を基準点として
U=mg
(l−x)
=mgl
(
1−cosθ
)
- - - (4)
である.したがって,ラグランジアン
L=T−U
は
L=
12m
l2
θ˙2
−mgl
(
1−cosθ
)
- - - (5)
となる.オイラー・ラグランジュ方程式は
ddt
(
dL
dθ˙
)
−
dL
dθ
=0
⇒
ddt
(
ml2
θ˙
)
−
(
−mglsinθ
)
=0
⇒
ml2
θ¨
+
mglsinθ
=0
となり,整理すると単振り子の運動方程式(の接線方向成分)
ml
θ¨
=
−mgsinθ
- - - (6)
が得られる.
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