オイラー・ラグランジュ方程式 (Euler - Lagrange equation) の例 ： 単振り子

単振り子の運動方程式をオイラー・ラグランジュ方程式から導出することを考える．

鉛直面内で回転運動できるように点 O で固定した長さ ${\displaystyle l}$ の棒の先端に質量 ${\displaystyle m}$ の質点を取り付けた単振り子について，棒が鉛直線となす角を ${\displaystyle \theta }$ とする．点 O を原点として，鉛直面内の鉛直下向きに ${\displaystyle x}$ 軸，水平方向に ${\displaystyle y}$ 軸をとると，質点 P の座標は

${\displaystyle \mathit{r}=(x,y)=(l\cos \theta ,l\sin \theta )}$     - - - (1)

と表せるが，棒が質点に作用する力 ${\displaystyle S}$ を束縛力として，質点の運動は半径 ${\displaystyle l}$ の円周上に束縛されているので，質点の位置は ${\displaystyle \theta }$ のみで指定できる（自由度は1）．したがって，一般化座標として ${\displaystyle \theta }$ をとると都合がよい．質点の速度は円の接線方向を向き，その成分は

${\displaystyle v_t=\frac{d}{dt}(l\theta )}$ ${\displaystyle =l\dot{\theta }}$     - - - (2)

と表されるので，質点の運動エネルギー ${\displaystyle T}$ は

${\displaystyle T=\frac{1}{2}m{v}_t^2}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2}$     - - - (3)

である．これは，式 (1) から

${\displaystyle v_t^2={\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}$ ${\displaystyle ={(-l\sin \theta \dot{\theta })}^2+{(l\cos \theta \dot{\theta })}^2}$ ${\displaystyle =l^2({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta ){\dot{\theta }}^2}$ ${\displaystyle =l^2{\dot{\theta }}^2}$

として求めても同じである．一方，重力による質点の位置エネルギー ${\displaystyle U}$ は， ${\displaystyle \theta =0}$ のときの最下点を基準点として

${\displaystyle U=mg(l-x)}$ ${\displaystyle =mgl(1-\cos \theta )}$     - - - (4)

である．したがって，ラグランジアン ${\displaystyle L=T-U}$  は

${\displaystyle L=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2-mgl(1-\cos \theta )}$     - - - (5)

となる．オイラー・ラグランジュ方程式は

${\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{dL}{d\dot{\theta }}\right)-\frac{dL}{d\theta }=0}$    ⇒    ${\displaystyle \frac{d}{dt}\left(m{l}^2\dot{\theta }\right)-(-mgl\sin \theta )=0}$    ⇒    ${\displaystyle m{l}^2\ddot{\theta }+mgl\sin \theta =0}$

となり，整理すると単振り子の運動方程式（の接線方向成分）

${\displaystyle ml\ddot{\theta }=-mg\sin \theta }$     - - - (6)

が得られる．

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最終更新日： 2026年1月22日